1. Chứng minh rằng : ĐA giác lồi $2n$ cạnh ($n$\geq 2$ ) luôn có ít nhất $n$ đường chéo không song song bất kì cạnh nào của đa giác.
2. Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý sao cho trong 3 điểm bất kì luôn tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Cmr tồn tại một hình tròn bán kính = 1 chưa ít nhất 1007 điểm (trong và trên biên)
3. Cho 2014 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng có một số số mà có tổng chia hết cho 2014.
4. Cho X là tập hợp 700 số nguyên dương khác nhau, mối số không lớn hơn 2006. Chứng minh rằng trong tập X luôn tìm được x, y sao cho x-y thuộc tập {3;6;9}
5. Một lớp học có số học sinh được xếp loại giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều vượt qua 50%. Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh xếp loại giỏi từ 2 môn trở lên, biết số học sinh của lớp không ít hơn 10.
Gọi $700$ số đã cho là $x_{1};x_{2};.......;x_{700}$. $(x_{k} \in [1;2005])$
Xét $2100$ số $x_{1}+3;x_{1}+6;x_{1}+9;........;x_{700}+3;x_{700}+6;x_{700}+9$
Ta thấy $x_{k}+9 \leq 2005+9 = 2015$
$x_{k}+3 \geq 4$
Suy ra $x_{k}+\alpha $ có thể nhận các giá trị từ $4$ đến $2015$ hay có thể nhận được $2012$ giá trị. (Trong đó $\alpha \in [3;6;9]$)
Mà lại có $2100$ số $ x_{k}+\alpha$ nên theo nguyên lí $Dirichlet$ thì có $2$ số trong $2100$ số đã cho bằng nhau.
Suy ra với 2 số $i;j$ nào đó ($1\leq i;j \leq 2005$ và $i;j$ không nhất phân biệt)
thì $x_{i}+\beta= x_{j}+ \gamma$ trong đó $\beta; \gamma \in \left \{ 3;6;9 \right \}$
Xét TH $i;j$ phân biệt.
Giả sử $x_{j}> x_{i} \rightarrow \beta > \gamma$
Thì suy ra $x_{j}- x_{i} = \beta - \gamma$ dễ thấy $\beta-\gamma \in \left \{ 3;6;9 \right \}$
Vậy $x_{j};x_{i}$ là $2$ số cần tìm.
Xét TH $I;J$ bằng nhau.
Có thể thấy TH khá hư cấu. Ta có đpcm.
P/s: Mong bác nào kiểm định chứ sợ bài này dễ sai lắm. Tks
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 26-05-2017 - 17:17