Đến nội dung

Hình ảnh

Môt số bài toán rời rac trong đề thi hsg 9 + tuyển sinh 10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
murasaki

murasaki

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

1. Chứng minh rằng : ĐA giác lồi $2n$ cạnh ($n$\geq 2$ ) luôn có ít nhất $n$ đường chéo không song song bất kì cạnh nào của đa giác.

2. Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý sao cho trong 3 điểm bất kì luôn tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Cmr tồn tại một hình tròn bán kính = 1 chưa ít nhất 1007 điểm (trong và trên biên)

3. Cho 2014 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng có một số số mà có tổng chia hết cho 2014. 
4. Cho X là tập hợp 700 số nguyên dương khác nhau, mối số không lớn hơn 2006. Chứng minh rằng trong tập X luôn tìm được x, y sao cho x-y thuộc tập {3;6;9}
5. Một lớp học có số học sinh được xếp loại giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều vượt qua 50%. Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh xếp loại giỏi từ 2 môn trở lên, biết số học sinh của lớp không ít hơn 10.


It's not being Slytherins that makes us proud. It's being proud that makes us Slytherin.


#2
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Bài 2 (quen thuộc):

Chọn ra 2 điểm A và B sao cho khoảng cách A,B lớn hơn 1.Dựng các đường tròn bán kính 1 có tâm là A và B

Lấy điểm C bất kì từ 2011 điểm còn lại. Theo giả thiết thì suy C nằm trong A hoặc B.

Có 2011 điểm còn lại, theo nguyên lý Dirichlet suy ra có ít nhất 1006 điểm nằm trong một đường tròn,giả sử nằm trong (A;1).Mà A cũng nằm trong (A;1) nên có ngay đpcm.


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#3
khgisongsong

khgisongsong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

bài 3 

gọi dãy đã cho là a1,a2,...,a2014

ta tạo được dãy 1 dãy  b1,b2,...,b2014 như sau

b1=a1

b2=a1+a2

............

b2014=a1+a2+...+a2014

nếu trong dãy này tồn tại số bj chia hết cho 2014 thì ta có đpcm

nếu trong dãy này không tồn tại số  bj  nào chia hết cho 2014 thì suy ra có 2 số bi,bj (i<j) đồng dư với nhau khi chia cho 2014 ( do số dư chỉ thuộc từ 1->2013 mà có tới tận 2014 số) suy ra (bj-bi) chia hết cho 2014 mà (bj-bi)=ai+1+ai+2 +...+ aj => dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khgisongsong: 26-05-2017 - 15:41

$\frac{(x!)^2.(-1)^x+1}{2x+1}\in Z $ (với $x\in N)<=>2x+1$ là số nguyên tố


#4
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

1. Chứng minh rằng : ĐA giác lồi $2n$ cạnh ($n$\geq 2$ ) luôn có ít nhất $n$ đường chéo không song song bất kì cạnh nào của đa giác.

2. Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý sao cho trong 3 điểm bất kì luôn tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Cmr tồn tại một hình tròn bán kính = 1 chưa ít nhất 1007 điểm (trong và trên biên)

3. Cho 2014 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng có một số số mà có tổng chia hết cho 2014. 
4. Cho X là tập hợp 700 số nguyên dương khác nhau, mối số không lớn hơn 2006. Chứng minh rằng trong tập X luôn tìm được x, y sao cho x-y thuộc tập {3;6;9}
5. Một lớp học có số học sinh được xếp loại giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều vượt qua 50%. Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh xếp loại giỏi từ 2 môn trở lên, biết số học sinh của lớp không ít hơn 10.

Gọi $700$ số đã cho là $x_{1};x_{2};.......;x_{700}$. $(x_{k} \in [1;2005])$

Xét $2100$ số $x_{1}+3;x_{1}+6;x_{1}+9;........;x_{700}+3;x_{700}+6;x_{700}+9$

Ta thấy $x_{k}+9 \leq 2005+9 = 2015$

            $x_{k}+3 \geq 4$

Suy ra $x_{k}+\alpha $ có thể nhận các giá trị từ $4$ đến $2015$ hay có thể nhận được $2012$ giá trị. (Trong đó $\alpha \in [3;6;9]$)

Mà lại có $2100$ số $ x_{k}+\alpha$ nên theo nguyên lí $Dirichlet$ thì có $2$ số trong $2100$ số đã cho bằng nhau.

Suy ra với 2 số $i;j$ nào đó ($1\leq i;j \leq 2005$ và $i;j$ không nhất phân biệt)

thì $x_{i}+\beta= x_{j}+ \gamma$ trong đó $\beta; \gamma \in \left \{ 3;6;9 \right \}$

Xét TH $i;j$ phân biệt.

Giả sử $x_{j}> x_{i} \rightarrow \beta > \gamma$ 

Thì suy ra $x_{j}- x_{i} = \beta - \gamma$ dễ thấy $\beta-\gamma \in  \left \{ 3;6;9 \right \}$

Vậy $x_{j};x_{i}$ là $2$ số cần tìm.

Xét TH $I;J$ bằng nhau.

Có thể thấy TH khá hư cấu. Ta có đpcm.

 

P/s: Mong bác nào kiểm định chứ sợ bài này dễ sai lắm. Tks


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 26-05-2017 - 17:17

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#5
ChickenSoup

ChickenSoup

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Bài 1 : Giả sử có ít hơn n đường chéo không song song bát cứ cạnh nào .=> có nhiều nhất n-1 đường chéo như vậy.

Đa giác 2n cạnh => có 2n điểm phân biệt => có $2n(2n-1)=4n^{2}-2n$ đường thẳng (chưa trừ các đường thẳng trùng nhau) => có $4n^{2}-4n$ đường chéo vậy sẽ có ít nhất $4n^{2}-6n+2$ đường chéo song với các cạnh của đa giác. Mà có 2n đỉnh , theo định lý Dirichlet sẽ có 1 đỉnh có ít nhất   $\left [ \frac{4n^{2}-6n+2}{2n} \right ]+1=2n-2$ đường chéo vẽ từ nó  song với  các cạnh còn lại. Mà từ 1 đỉnh trong đa giác 2n cạnh chỉ vẽ được 2n-3 đường chéo => vô lý=> đpcm 

 

 

Bài hơi khó hiểu ở chỗ chưa chia trừ các đường trùng nhau. Thông Cảm



#6
HuyHoang01111998

HuyHoang01111998

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
Giải giúp mk bài này với:Dùng nguyên lý dirichlet, chứng minh rằng trong 10 khách hàng bất kì đến gửi tiền tại ngân hàng A vào ngày 20/10/2016, bao giờ cũng tìm được 2 khách hàng hoặc có tổng tiền gửi chia hết cho 16 hoặc có hiệu số tiền gửi chia hết cho 16.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh