Chứng minh bổ đề sau: $x^4+y^4+z^4\geq x^3y+y^3z+z^3x$
Thật vậy, theo $AM-GM$,có:$2(x^4+y^4+z^4)\geq (x^4+x^2y^2)+(y^4+y^2z^2)+(z^4+z^2x^2)\geq 2(x^3y+y^3z+z^3x)$
Vậy bổ đề chứng minh xong.
Quay lại bài toán.
Biến đổi giả thiết,ta được: $\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=3$
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$,ta có:
$\sum\frac{1}{a^3b+2c^2+1}\leq \frac{1}{4}\sum (\frac{1}{a^3b+1}+\frac{1}{2c^2})$
Ta đi chứng minh BĐT mạnh hơn nữa là:
$\sum \frac{1}{a^3b+1}+\frac{1}{2}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\leq 3$
Áp dụng BĐT quen thuộc $(x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)$.Ta có:
$\frac{1}{2}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\leq \frac{1}{2}\sqrt{3(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})}=\frac{3}{2}$ $(1)$
Lại theo $Cauchy-Schwarz$ một lần nữa và bổ đề trên, có:$\sum \frac{1}{a^3b+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a^3b}+\frac{1}{b^3c}+\frac{1}{c^3a})+\frac{3}{4}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$ $(2)$
Cộng $(1)$ và $(2)$ có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 27-05-2017 - 12:32