Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^{3}b+2c^{2}+1}\leq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
ViaUyennhi

ViaUyennhi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết

Cho a,b,c dương và thỏa mãn $a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}=3a^{4}b^{4}c^{4}$. 

Chứng minh: $\frac{1}{a^{3}b+2c^{2}+1}+\frac{1}{b^{3}c+2a^{2}+1}+\frac{1}{c^{3}a+2b^{2}+1}\leq \frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 27-05-2017 - 19:55


#2
ViaUyennhi

ViaUyennhi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết

có ai biết làm bài này chưa  :(  :( mk nghĩ mãi mà ko ra  :(



#3
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Chứng minh bổ đề sau: $x^4+y^4+z^4\geq x^3y+y^3z+z^3x$

Thật vậy, theo $AM-GM$,có:$2(x^4+y^4+z^4)\geq (x^4+x^2y^2)+(y^4+y^2z^2)+(z^4+z^2x^2)\geq 2(x^3y+y^3z+z^3x)$

Vậy bổ đề chứng minh xong.

Quay lại bài toán.

Biến đổi giả thiết,ta được: $\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=3$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$,ta có:

$\sum\frac{1}{a^3b+2c^2+1}\leq \frac{1}{4}\sum (\frac{1}{a^3b+1}+\frac{1}{2c^2})$

Ta đi chứng minh BĐT mạnh hơn nữa là: 

$\sum \frac{1}{a^3b+1}+\frac{1}{2}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\leq 3$

Áp dụng BĐT quen thuộc $(x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)$.Ta có:

$\frac{1}{2}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\leq \frac{1}{2}\sqrt{3(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})}=\frac{3}{2}$ $(1)$

Lại theo $Cauchy-Schwarz$ một lần nữa và bổ đề trên, có:$\sum \frac{1}{a^3b+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a^3b}+\frac{1}{b^3c}+\frac{1}{c^3a})+\frac{3}{4}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$ $(2)$

Cộng $(1)$ và $(2)$ có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 27-05-2017 - 12:32

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh