Chủ đề này có 5 trả lời

[KaveZS]

Cho hai điểm phân biệt $A,B$ nằm bên trong đường tròn tâm $O$ cố định và bán kính $R$ không đổi. Tìm vị trí của $M$ nằm trên đường tròn đó để tổng $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

[khgisongsong]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khgisongsong: 01-06-2017 - 07:55

[chanhquocnghiem]

Cho hai điểm phân biệt $A,B$ nằm bên trong đường tròn tâm $O$ cố định và bán kính $R$ không đổi. Tìm vị trí của $M$ nằm trên đường tròn đó để tổng $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

Gọi $(E_1)$ là ellipse nhận $A$ và $B$ là hai tiêu điểm và tiếp xúc trong với $(O)$ (ellipse $(E_1)$ nằm trong đường tròn và tiếp xúc với đường tròn tại $P$)

      $(E_2)$ là ellipse nhận $A$ và $B$ là hai tiêu điểm và tiếp xúc trong với $(O)$ (đường tròn nằm trong ellipse $(E_2)$ và tiếp xúc với ellipse $(E_2)$ tại $Q$)

Gọi bán trục lớn của $(E_1)$ là $a_1$, ta có : $PA+PB=2a_1$ (1)

Với mọi điểm $M\in (O)$ ($M\not\equiv P$), vì $M$ nằm ngoài $(E_1)$ nên ta có $MA+MB> 2a_1$ (2)

Gọi bán trục lớn của $(E_2)$ là $a_2$, ta có : $QA+QB=2a_2$ (3)

Với mọi điểm $M\in (O)$ ($M\not\equiv Q$), vì $M$ nằm trong $(E_2)$ nên ta có $MA+MB< 2a_2$ (4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra :

$MA+MB$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M\equiv P$

$MA+MB$ đạt GTLN $\Leftrightarrow M\equiv Q$

($P$ và $Q$ là hai tiếp điểm đã nói rõ ở trên)

[duylax2412]

Xin trình bày cách giải hình học thuần túy:(hình gửi kèm)

Gọi I là trung điểm cung lớn AB.Lấy trên tia đối điểm C thỏa $MC=MB$.IM cắt BC tại H. Ta có:

$\widehat{BMH}=\widehat{BAI}=\widehat{IBA}=\widehat{IMA}=\widehat{CMH}$

Suy ra: MH là phân giác $\widehat{BMC}$

Từ đó cho ta: IB=IC

Lúc đó:$IA+IB=IA+IC\geq AC=MA+MC=MA+MB$

Vậy $MA+MB$ max khi $M \equiv I$

Còn $MA+MB$ min thì khi $M \equiv A$ hoặc $M \equiv B$

 

[chanhquocnghiem]

Xin trình bày cách giải hình học thuần túy:(hình gửi kèm)

hinhcuaduy.png

Gọi I là trung điểm cung lớn AB.Lấy trên tia đối điểm C thỏa $MC=MB$.IM cắt BC tại H. Ta có:

$\widehat{BMH}=\widehat{BAI}=\widehat{IBA}=\widehat{IMA}=\widehat{CMH}$

Suy ra: MH là phân giác $\widehat{BMC}$

Từ đó cho ta: IB=IC

Lúc đó:$IA+IB=IA+IC\geq AC=MA+MC=MA+MB$

Vậy $MA+MB$ max khi $M \equiv I$

Còn $MA+MB$ min thì khi $M \equiv A$ hoặc $M \equiv B$

Vẽ hình sai rồi ! $A$ và $B$ nằm bên trong đường tròn cơ mà !

[duylax2412]

Vẽ hình sai rồi ! $A$ và $B$ nằm bên trong đường tròn cơ mà !

Cảm ơn đã nhắc,mình sẽ tìm cách khác