Tìm nghiệm nguyên:
1. $2^{x}+7=y^{2}$
2. $3^{x}-y^{3}=1$
3. $m^{2}+n^{2}=m+n+8$ với m,n là số tự nhiên
4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$
5. $(x+1)^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$
6. $(x+y)^{5}=120+3$
Tìm nghiệm nguyên:
1. $2^{x}+7=y^{2}$
2. $3^{x}-y^{3}=1$
3. $m^{2}+n^{2}=m+n+8$ với m,n là số tự nhiên
4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$
5. $(x+1)^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$
6. $(x+y)^{5}=120+3$
Tìm nghiệm nguyên:
1. $2^{x}+7=y^{2}$
2. $3^{x}-y^{3}=1$
3. $m^{2}+n^{2}=m+n+8$ với m,n là số tự nhiên
4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$
5. $(x+1)^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$
6. $(x+y)^{5}=120+3$
1. Xét $x \geq 2$.
Suy ra $2^{x} \equiv 0 (\mod{4})$
$\Rightarrow y^{2}=2^{x}+7 \equiv 3 \mod{4}$
Mâu thuẫn vì $y^{2} \equiv 0;1 \mod{4}$
Xét $x<0$
Suy ra $2^{x}+7 \not{\in} \mathbb{N}$. Mâu thuẫn
Xét $1\leq x\geq 0$
Nếu $x=0$ thì $2^{x}+7= 8$ (vô lí).
Nếu $x=1$ thì $2^{x}+7 = 9 =3^{2}$
Vậy pt có nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(1;3)$.
2. Xét $x<0$ thì pt vô nghiệm nguyên.
Xét $x \geq 0$.
Pt$\Leftrightarrow 3^{x}= (y+1)(y^{2}-y+1)$
Suy ra $y+1= 3^{a}$
$(a,b \in \mathbb{N}; a+b=x$)
$y^{2}-y+1= 3^{b}$
$\Rightarrow 3^{2a}- 3(3^{a}-1)= 3^{b}$
Nếu $a=0$ thì $b=1$ suy ra $x=1,y=0$
Nếu $b=0$ thì thấy không tồn tại $a \in \mathbb{N}$
Nếu $a,b > 0$ thì $3^{2a-1}-3^{a}+1= 3^{b}$ vì $a,b> 0 $ cho nên $3^{2a-1} \equiv 3^{a} \equiv 3^{b} \equiv 0 \mod{3})$, mâu thuẫn.
Vậy $x=1,y=0$.
3,4. đã có trên topic số học THCS.
5. pt$\Leftrightarrow 8x(x^{2}+1) = y^{3}$
$\Leftrightarrow x(x^{2}+1) = k^{3}$
Thấy $(x;x^{2}+1)= 1$ suy ra $x=a^{3}, x^{2}+1= b^{3}$
Từ đó ta có $a^{6}+1= b^{3}$
$\Rightarrow (a^{2}-b)(a^{4}+a^{2}b+b^{2})= 1$
$\Rightarrow a=1, b=0$
Hay $x=0$ suy ra $y=0$
Vậy $x=y=0$
6. Đánh thiếu đề. Đề nguyên bản. $(x+y)^{5}=120y+3$ (Hình như vậy ) và $x,y$ nguyên dương thì phải.
Bài này đơn giản là chặn $x$ là được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 27-05-2017 - 22:27
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
5. $(x+1)^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$
Khai triển ra ta được:
$(x^3+x)8=y^3$
Do $x,y$ nguyên nên $(x^3+x)$ là lập phương của 1 số nguyên mà $8=2^3=>x^3+x=t^3$($t$ nguyên)
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được:
$(x-1)^3<x^3+x<(x+1)^3$ với mọi $x$ mà $x^3+x=t^3=>x^3+x=x^3$
$<=>x=0$.Khi đó $y=0$
Vậy $(x,y)=(0,0)$
I Love $\sqrt{MF}$
Tìm nghiệm nguyên:
1. $2^{x}+7=y^{2}$
2. $3^{x}-y^{3}=1$
3. $m^{2}+n^{2}=m+n+8$ với m,n là số tự nhiên
4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$
5. $(x+1)^{4}-(x-1)^{4}=y^{3}$
6. $(x+y)^{5}=120+3$
Bài 4 . Đặt ( x+y,xy)=(a,b)
Bài toán trở nên đơn giản HS lớp 7 cũng có thể lm đ.c :v
''.''
Bài 6 làm như sau:( đề của $NHoang1608$)
Do: $x,y>0$ nên $(x+y)^5=120y+3<120(x+y) \rightarrow (x+y)^4<120<4^4$
Lại có: $(x+y)^4 \geq 2^4$
Từ đây suy ra: $2 \leq x+y <4$
Đến đây thì dễ rồi!
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
1. Xét $x \geq 2$.
Suy ra $2^{x} \equiv 0 (\mod{4})$
$\Rightarrow y^{2}=2^{x}+7 \equiv 3 \mod{4}$
Mâu thuẫn vì $y^{2} \equiv 0;1 \mod{4}$
Xét $x<0$
Suy ra $2^{x}+7 \not{\in} \mathbb{N}$. Mâu thuẫn
Xét $1\leq x\geq 0$
Nếu $x=0$ thì $2^{x}+7= 8$ (vô lí).
Nếu $x=1$ thì $2^{x}+7 = 9 =3^{2}$
Vậy pt có nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(1;3)$.
2. Xét $x<0$ thì pt vô nghiệm nguyên.
Xét $x \geq 0$.
Pt$\Leftrightarrow 3^{x}= (y+1)(y^{2}-y+1)$
Suy ra $y+1= 3^{a}$
$(a,b \in \mathbb{N}; a+b=x$)
$y^{2}-y+1= 3^{b}$
$\Rightarrow 3^{2a}- 3(3^{a}-1)= 3^{b}$
Nếu $a=0$ thì $b=1$ suy ra $x=1,y=0$
Nếu $b=0$ thì thấy không tồn tại $a \in \mathbb{N}$
Nếu $a,b > 0$ thì $3^{2a-1}-3^{a}+1= 3^{b}$ vì $a,b> 0 $ cho nên $3^{2a-1} \equiv 3^{a} \equiv 3^{b} \equiv 0 \mod{3})$, mâu thuẫn.
Vậy $x=1,y=0$.
3,4. đã có trên topic số học THCS.
5. pt$\Leftrightarrow 8x(x^{2}+1) = y^{3}$
$\Leftrightarrow x(x^{2}+1) = k^{3}$
Thấy $(x;x^{2}+1)= 1$ suy ra $x=a^{3}, x^{2}+1= b^{3}$
Từ đó ta có $a^{6}+1= b^{3}$
$\Rightarrow (a^{2}-b)(a^{4}+a^{2}b+b^{2})= 1$
$\Rightarrow a=1, b=0$
Hay $x=0$ suy ra $y=0$
Vậy $x=y=0$
6. Đánh thiếu đề. Đề nguyên bản. $(x+y)^{5}=120y+3$ (Hình như vậy ) và $x,y$ nguyên dương thì phải.
Bài này đơn giản là chặn $x$ là được.
bổ sung nghiệm bài 1 là y = -3 nha
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh