Chủ đề này có 5 trả lời

[lelehieu2002]

Cho đường tròn (O,R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và $OE.OA=R^{2}$

3) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B, C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

4) Đường thằng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng $PM+QN\geq MN$

[tuan pham 1908]

1)
Ta có ABO=ACO=90°(t/c tiếp tuyến)
=> ABO+ACO=180°
=> ABOC nội tiếp

[tuan pham 1908]

2)
Ta có:
OB=OC=R
AB=AC(t/c 2tt cắt nhau)
=> AO là đường trung trực của BC
=>BE vuông góc với OA
Vì tam giác ABO vuông tại B có BE là đường cao nên:
OE.OA$=OB^2=R^2$

[tuan pham 1908]

Ta có:
$C_{APQ}$=AP+AQ+QP=AP+AQ+KP+QP
Mà KP=PB và KQ=QC (t/c 2tt cắt nhau)
=> $C_{APQ}=AP+AQ+PB+QC=AB+AC$
AB+AC không đổi khi K di chuyển trên cung nhỏ BC
=> đpcm

[tuan pham 1908]

Hình

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan pham 1908: 30-05-2017 - 22:33

[tuan pham 1908]

Dễ chứng minh <MOB = < NOC ; <BOP =<POK nên
2 lần góc MOP = (<MOB + <BOP)+(<NOC+<POK)
và <NQO = <KQO nên
2 lần góc OQN = góc KQC
2 lần góc MOP =2 lần góc OQN ( Vì cùng bù với <KOC
cho nên < MOP = < OQN
Từ đó chứng minh được tam giác MOP đồng dạng với tam giác NQO (g.g)
Suy ra MP.NQ = ON.OM = (MN: 2 ). (MN:2)
mà bình phương của tổng (PM+QN) > or = 2 lần căn bậc hai dương của tích PM.PN
hay PM + QN > or = MN.