Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi toán vòng 2 thpt chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2017-2018


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 37 trả lời

#1
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                             ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

            NAM ĐỊNH                                                                                         Năm học: 2017 - 2018

       $\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                       Môn: Toán (chuyên)

Câu 1:(2 đ)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên $x$ thỏa $(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}-1})(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-1)\geq 1$

b) Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn các điều kiện $a+b+c=3$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$

Tính giá trị biểu thức $P=(a-3)^{2017}.(b-3)^{2018}.(c-3)^{2019}$

Câu 2:(2 đ)

a) Giải phương trình $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2+6x+5}+1)=4$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} & 2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\\ & x^2-3x-4\sqrt{y}+10=0 \end{matrix}\right.$

Câu 3:(3 đ)

Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B,C$ là các điểm). Gọi $H$ là giao điểm của  $AO$ và $BC$, $I$ là trung điểm của $BH$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OB$ cắt $(O)$ tại hai điểm $D,K$ ($D$ thuộc cung nhỏ $BC$). Tia $AD$ cắt đường $(O)$ tại thứ hai $E$. $DK$ cắt $BE$ tại $F$

a) Chứng minh ICEF nội tiếp 

b) Chứng minh $\widehat{DBH}=2\widehat{DKH}$

c) Chứng minh rằng: $BD.CE=BE.CD$ và $BF.CE^2=BE.CD^2$

Câu 4:(1,5 đ)

a) Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình $x^3+1=4y^2$

b) Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa mãn biểu thức $B=x^4-x^2-10x-25$ là số nguyên tố 

Câu 5:(1,5 đ)

a) Xét các số thực $a,b,c$ không âm, khác 1 và thỏa mãn $a+b+c=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}+(a+b)(4+5c)$

b) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính bằng $R=4cm$ ($O$ nằm trong tứ giác $ABCD$). Xét 33 điểm phân biệt nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong 33 điểm đó luôn tìm được 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 30-05-2017 - 10:57

Sống khỏe và sống tốt :D


#2
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

Chém câu bất trước

Từ giả thiết và theo bất đẳng thức Cauchy; ta có:

$P=\frac{1}{a(a+b+c)+bc}+\frac{1}{b(a+b+c)+ac}+(a+b)(4+5c)=\frac{1}{(a+b)(a+c)}+\frac{1}{(b+c)(b+a)}+(a+b)(4+5c)=\frac{a+b+2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}+(a+b)(4+5c)\geq \frac{a+b+2c}{(a+b)(\frac{a+b+2c}{2})^2}+(a+b)(4+5c)=\frac{4}{(a+b)(a+b+2c)}+(a+b)(4+5c)\geq \frac{4}{(a+b)(a+b+c+c)}+(a+b)(4+4c)=\frac{4}{(a+b)(1+c)}+4(a+b)(1+c)\geq 2\sqrt{\frac{4}{(a+b)(1+c)}.4(a+b)(1+c)}=8$

Dấu "=" xảy ra khi $c=0; a=b=\frac{1}{2}$

P/s:Hôm đi thi câu bất tưởng không làm được; lúc ra khỏi phòng thi mới biết đọc thiếu dữ kiện ~đắng~


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 28-05-2017 - 22:38

Sống khỏe và sống tốt :D


#3
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết


Câu 4:(1,5 đ)
a) Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình $x^3+1=4y^2$
b) Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa mãn biểu thức $B=x^4-x^2-10x-25$ là số nguyên tố

a) (Theo bạn NHoang1608)

$\Leftrightarrow \left ( 2y-1 \right )\left ( 2y+1 \right )=x^{3}$

Mặt khác có: $(2y-1;2y+1)=1$
Nên $2y-1=b^{3};2y+1=a^{3}$
Do đó,$a^{3}-b^{3}=2\\\Leftrightarrow (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=2$
Thay vào tìm được:
$\boxed{\text{(x,y)=(-1;0)}}$

b) Đặt $x^{4}-\left ( x+5 \right )^{2}=p$ nguyên tố
Do đó,$1.p=p=\left ( x^{2}-x-5 \right )\left ( x^{2}+x+5 \right )$
$\Rightarrow x^{2}-x-5=1\\\Rightarrow \left ( x-3 \right )\left ( x+2 \right )=0\\\Rightarrow x=3$


P/s: Bài số không ấn tượng cho lắm!
.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 29-05-2017 - 16:41

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#4
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Câu 2a:

Đặt $\sqrt{x+5}=a;\sqrt{x+1}=b(a,b\geq 0)$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}(a-b)(ab+1)=4 & & \\ a^2-b^2=4 & & \end{matrix}\right.$

Từ đây $\Rightarrow a\neq b$

Trừ pt 1 cho pt 2, ta được: $(a-b)(a-1)(b-1)=0$

Thay lần lượt $a;b$ vào ta tìm được $x=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 28-05-2017 - 22:59

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#5
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

Câu 2a:

Đặt $\sqrt{x+5}=a;\sqrt{x+1}=b(a,b\geq 0)$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}(a-b)(ab+1)=4 & & \\ a^2-b^2=4 & & \end{matrix}\right.$

Từ đây $\Rightarrow a\neq b$

Trừ pt 1 cho pt 2, ta được: $(a-b)(a-1)(b-1)=0$

Thay lần lượt $a;b$ vào ta tìm được $x=0$ hoặc $x=-4$

Loại nghiệm $x=-4$ đi bạn; nó đâu có thỏa mãn ĐKXĐ


Sống khỏe và sống tốt :D


#6
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Loại nghiệm $x=-4$ đi bạn; nó đâu có thỏa mãn ĐKXĐ

 

Ừ quên so sánh ĐK


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#7
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

 

Câu 2:(2 đ)

a) Giải phương trình $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2+6x+5}+1)=4$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} & 2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\\ & x^2-3x-4\sqrt{y}+10=0 \end{matrix}\right.$

 

a) Điều kiện tự viết

$(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2+6x+5}+1)=4$

$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x+1}}\left ( \sqrt{\left ( x+5 \right )\left ( x+1 \right )}+1 \right )=4\\\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x+5}-1 \right )\left ( \sqrt{x+1}-1 \right )=0\\\Leftrightarrow x=0$

 

b) Áp dụng BĐT Bunhia:

$\sqrt{x+2}+\sqrt{3.3y}\leq \sqrt{4\left ( x+3y+2 \right )}=2\sqrt{\left ( x+3y+2 \right )}$

Dấu "=" khi $x+2=y$

Thế vào PT2 ta có:$x^{2}-3x-4\sqrt{x+2}+10=0$

Nhẩm nghiệm $x=2$ nhân liên hợp là ok


$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#8
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

Bài 3:

a) $\widehat{DIC}=\widehat{BOA}=\widehat{BEC}$

$\Rightarrow Q.E.D$

 

 

b) Hình như phải là $\widehat{DHB}=\frac{1}{2}\widehat{DHE}$

Ta có:$AD.AE=AB^{2}=AH.AO$

Do đó,$DHOE$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{DHA}=\widehat{DEO}=\widehat{ODE}=\widehat{OHE}\\\Rightarrow \widehat{DHB}=\frac{1}{2}\widehat{DHE}\Rightarrow Q.E.D$

 

 

c) Tính chất tứ giác điều hòa

 

Hình gửi kèm

  • 1.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 29-05-2017 - 22:02

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#9
Martyb Tobb

Martyb Tobb

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

a) PT trên :

$\Leftrightarrow \left ( 2y-1 \right )\left ( 2y+1 \right )=x^{3}$

Mặt khác có: $x^{3}=1.x^{3}=\left ( -1 \right )\left ( -x^{3} \right )=x.x^{2}=\left ( -x \right )\left ( -x^{2} \right )$
Thay vào tìm được:
$\boxed{\text{(x,y)=(-1;0)}}$

b) Đặt $x^{4}-\left ( x+5 \right )^{2}=p$ nguyên tố
Do đó,$1.p=p=\left ( x^{2}-x-5 \right )\left ( x^{2}+x+5 \right )$
$\Rightarrow x^{2}-x-5=1\\\Rightarrow \left ( x-3 \right )\left ( x+2 \right )=0\\\Rightarrow x=3$


P/s: Bài số không ấn tượng cho lắm!
.
Không ấn tượng là đúng rồi. X đã cho nguyên tố đâu mà bạn phân tích được như vậy . Chẳng hạn 6^3 =2^3.3^3=...=.....
Theo mình bài này sẽ được giải tương tự bài ptnn của khtn năm ngoái

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Martyb Tobb: 29-05-2017 - 11:10


#10
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

Không ấn tượng là đúng rồi. X đã cho nguyên tố đâu mà bạn phân tích được như vậy . Chẳng hạn 6^3 =2^3.3^3=...=.....
Theo mình bài này sẽ được giải tương tự bài ptnn của khtn năm ngoái

a) Ta có $(2y+1)(2y-1)=x^{3}$

Mặt khác $(2y+1;2y-1)=1$ cho nên $2y+1=a^{3}; 2y-1=b^{3}$

Suy ra $a^{3}-b^{3}=2$

           $\Leftrightarrow (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=2$

Suy ra $a=1,b=-1$ $\Rightarrow y=0$ suy ra $x=-1$

Vậy $(x;y)=(-1;0)$.

 

NTMFlashNo1 

Em ở tận nghệ an mk anh nên đi xa với lại đến ở HN thì ai chăm e ạ :) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 29-05-2017 - 12:03

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#11
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

Ai chém nốt câu tổ đi; câu tổ mình thấy mình làm nó cứ sai sai thế nào ấy

 

P/s:@Minhnksc;NHoang1608, các chú có thi chuyên Sư Phạm không?

 

 Em cũng thi Hà Nội nhưng thi KHTN cơ.


Sống khỏe và sống tốt :D


#12
ddang00

ddang00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Câu tổ mình giải như sau:

Do tứ giác $ABCD$ nội  tiếp đường tròn $(O)$ nên dễ dàng chứng minh được tứ giác $ABCD$ có diện tích lớn nhất khi là hình vuông.

Giả sử $ABCD$ là hình vuông khi đó tứ giác này có diện tích $32cm^2$

Khi đó $AB=BC=CD=DA=4\sqrt{2}$

Ta chia tứ giác $ABCD$ như hình vẽ:

geogebra-export.png

Khi đó tứ giác $ABCD$ được chia thành $32$ tam giác nhỏ có diện tích là $1$ và $16$ hình vuông nhỏ có diện tích $2$ .

Giả sử tồn tại $3$ điểm trong $1$ tam giác ấy $=>$ ta có điều phải chứng minh.

Giả sử không có tam giác nào tồn tại từ $3$ điểm trở lên :

Khi đó theo nguyên lí $Dirichlet$ sẽ tồn tại một hình vuông nhỏ có chứa $3$ điểm. Ta dễ dàng chứng minh được diện tích lớn nhất của tam giác này là $1$

Vì vậy ta có điều phải chứng minh

 

P/s: Mình vốn gà tổ nên sai chỗ nào AE cứ ném đá thoải mái . :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 29-05-2017 - 22:36

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: I Love $\sqrt{MF}$ :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#13
Kiratran

Kiratran

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

câu hình ý b mình thấy cứ thế nào ý :)


Duyên do trời làm vương vấn một đời.


#14
TenLaGi

TenLaGi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                             ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

            NAM ĐỊNH                                                                                         Năm học: 2017 - 2018

       $\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                       Môn: Toán (chuyên)

Câu 1:(2 đ)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên $x$ thỏa $(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}-1})(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-1)\geq 1$

b) Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn các điều kiện $a+b+c=3$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$

Tính giá trị biểu thức $P=(a-3)^{2017}.(b-3)^{2018}.(c-3)^{2019}$

Câu 2:(2 đ)

a) Giải phương trình $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x^2+6x+5}+1)=4$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} & 2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\\ & x^2-3x-4\sqrt{y}+10=0 \end{matrix}\right.$

Câu 3:(3 đ)

Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B,C$ là các điểm). Gọi $H$ là giao điểm của  $AO$ và $BC$, $I$ là trung điểm của $BH$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OB$ cắt $(O)$ tại hai điểm $D,K$ ($D$ thuộc cung nhỏ $BC$). Tia $AD$ cắt đường $(O)$ tại thứ hai $E$. $DK$ cắt $BE$ tại $F$

a) Chứng minh ICEF nội tiếp 

b) Chứng minh $\widehat{DBH}=2\widehat{DHK}$

c) Chứng minh rằng: $BD.CE=BE.CD$ và $BF.CE^2=BE.CD^2$

Câu 4:(1,5 đ)

a) Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình $x^3+1=4y^2$

b) Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa mãn biểu thức $B=x^4-x^2-10x-25$ là số nguyên tố 

Câu 5:(1,5 đ)

a) Xét các số thực $a,b,c$ không âm, khác 1 và thỏa mãn $a+b+c=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}+(a+b)(4+5c)$

b) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính bằng $R=4cm$ ($O$ nằm trong tứ giác $ABCD$). Xét 33 điểm phân biệt nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong 33 điểm đó luôn tìm được 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^2$

Bạn xem lại câu b bài hình cái hình như không ổn!!!


            ~~~Chữ tâm kia mới bằng ba chữ tài~~~

                         


#15
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

Bạn xem lại câu b bài hình cái hình như không ổn!!!

 

câu hình ý b mình thấy cứ thế nào ý :)

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                             ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

            NAM ĐỊNH                                                                                         Năm học: 2017 - 2018

       $\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                       Môn: Toán (chuyên)

Câu 3:(3 đ)

Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với đường tròn $(O)$ ($B,C$ là các điểm). Gọi $H$ là giao điểm của  $AO$ và $BC$, $I$ là trung điểm của $BH$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OB$ cắt $(O)$ tại hai điểm $D,K$ ($D$ thuộc cung nhỏ $BC$). Tia $AD$ cắt đường $(O)$ tại thứ hai $E$. $DK$ cắt $BE$ tại $F$

b) Chứng minh $\widehat{DBH}=2\widehat{DHK}$

 

ĐÃ sửa và giải ở trên


$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#16
TenLaGi

TenLaGi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

ĐÃ sửa và giải ở trên

Em nghĩ như vậy thì đơn giản quá. Hình như là $\widehat{DBH}=2\widehat{DKH}$


            ~~~Chữ tâm kia mới bằng ba chữ tài~~~

                         


#17
tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Câu bất.

Theo $AM-GM$ ta có: $$ \displaystyle P=\frac{1}{{a+bc}}+\frac{1}{{b+ac}}+\left( {a+b} \right)\left( {5c+4} \right)\ge \frac{4}{{\left( {a+b} \right)\left( {c+1} \right)}}+\left( {a+b} \right)\left( {5c+4} \right)$$$$ \displaystyle =\frac{4}{{\left( {1-c} \right)\left( {c+1} \right)}}+\left( {1-c} \right)\left( {5c+4} \right)\ge 4\sqrt{{\frac{{5c+4}}{{c+1}}}}=4\sqrt{{\frac{c}{{c+1}}+4}}\ge 8$$. Vậy $\displaystyle \min P=8$. Dấu "=" xảy ra khi $ \displaystyle c=0,a=b=\frac{1}{2}$


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#18
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

ĐÃ sửa và giải ở trên

 

Bạn xem lại câu b bài hình cái hình như không ổn!!!

 

ĐÃ sửa và giải ở trên

Xin lỗi mọi người; mình đăng nhầm; câu 4b phải là $\angle{DBH}=2\angle{DKH}$ chứ không phải $\angle{DBH}=2\angle{DHK}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 30-05-2017 - 10:56

Sống khỏe và sống tốt :D


#19
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

Em nghĩ như vậy thì đơn giản quá. Hình như là $\widehat{DBH}=2\widehat{DKH}$

Xin lỗi mọi người; mình đăng nhầm; câu 4b phải là $\angle{DBH}=2\angle{DKH}$ chứ không phải $\angle{DBH}=2\angle{DHK}$

Nếu mà như thế thì cx dễ
Đpcm $\Leftrightarrow K$ nằm trên đường tròn tâm $(O)$ bán kính $BD=BK$
$\Leftrightarrow BD=BH$
$\Leftrightarrow BI.BC=BD^{2}=BH^{2}$
$\Leftrightarrow BH=\frac{1}{2} BC$
(Đúng)
$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 30-05-2017 - 11:27

$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#20
IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

 

Khi $ABCD$ không phải hình vuông em sẽ xử lí thế nào?






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh