Trong mọi tam giác nhọn $ABC$ chứng minh rằng
$\frac{sinAsinB}{tanA+tanB}+\frac{sinBsinC}{tanB+tanC}+\frac{sinCsinA}{tanC+tanA} \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Trong mọi tam giác nhọn $ABC$ chứng minh rằng
$\frac{sinAsinB}{tanA+tanB}+\frac{sinBsinC}{tanB+tanC}+\frac{sinCsinA}{tanC+tanA} \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
$\frac{sinAsinB}{tanA+tanB}\leq\frac{(sinA+sinB)^2}{4(tanA+tanB)}\leq\frac{sin^2A}{4tanA}+\frac{sin^2B}{4tanB}=\frac{sinA.cosA}{4}+\frac{sinB.cosB}{4}=\frac{sin(2A)}{8}+\frac{sin(2B)}{8}$
suy ra $VT\leq\frac{sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)}{4}$
mà
$sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=2sin(A+B)cos(A-B) + 2 sinCcosC$
$=2sinCcos(A-B)+2sinCcosC$
$=2sinC ( cos(A-B) + cosC)$
$=2sinC ( cos(A-B) - cos(A+B))$
$=2sinC.2sinAsinB$
$=4sinAsinBsinC$
suy ta $VT<=sinA.sinB.sinC$
gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có
$(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})^2\geq0$
$<=>3R^2\geq-2(\vec{OA}.\vec{OB}+\vec{OA}.\vec{OC}+\vec{OC}.\vec{OB})$
$<=>9R^2\geq(OA^2+OB^2-2\vec{OA}.\vec{OB})+(OC^2+OB^2-2\vec{OC}.\vec{OB})+(OA^2+OC^2-2\vec{OA}.\vec{OC})$
$<=>9R^2\geq a^2+b^2+c^2\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}$
$<=>3\sqrt{3}R\geq a+b+c$
$<=>\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}$
$<=>sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
suy ra $VT\leq sinA.sinB.sinC \leq(\frac{(sinA+sinB+sinC)}{3})^3=\frac{3\sqrt{3}}{8}$
$\frac{(x!)^2.(-1)^x+1}{2x+1}\in Z $ (với $x\in N)<=>2x+1$ là số nguyên tố
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh