Chủ đề này có 2 trả lời

[tiendungthachthat]

Cho $0\leq a;b;c\leq 3$ thoả $a+b+c=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của

$S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 30-05-2017 - 11:09

[linhk2]

Cho $0\leq a;b;c\leq 3$ thoả $a+b+c=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của

$S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$

bài này bạn lấy ở đâu vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhk2: 03-06-2017 - 19:38

[duylax2412]

Mình xin trình bày lời giải.

+) $Max$

Không giảm tổng quát,giả sử $c=max(a,b,c) \Rightarrow c \geq \frac{a+b+c}{3}=2$.Tức là $c \in [2;3]$

Ta có: $S=(a+b)^2+c^2+ab(c-2)=(6-c)^2+c^2+ab(c-2)$.Mà lại có: $ab \leq \frac{(a+b)^2}{4} \Rightarrow ab(c-2) \leq \frac{(a+b)^2}{4}(c-2)=\frac{(6-c)^2}{4}(c-2)$

(Do $c-2 \geq 0$ nên bất đẳng thức không đổi chiều khi nhân hai vế đại lượng $c-2$)

Vì thế: $S \leq (6-c)^2+c^2+(c-2)\frac{(6-c)^2}{4}= \frac{c^3-6c^2+12c+72}{4}=\frac{c^3-6c^2+12c-9}{4}+\frac{81}{4} \leq \frac{81}{4} $

Bởi vì  $c^3-6c^2+12c-9=(c-3)(c^2-3c+3) \leq 0$ $\forall c \in [2;3]$

Vậy $S_{max} = \frac{81}{4} \Leftrightarrow c=3;a=b \Leftrightarrow c=3;a=b=\frac{3}{2}$

+) $Min$

Dễ dàng chứng minh bổ đề sau:

$f(x)=mx+n$ và $x\in[p;q]$ trong đó $m>0$ thì hàm $f(x) đạt$ $min$ tại $x=p$

Cố định $a+b \Rightarrow c=6-a-b$ cố định.Và tương tự chiều $min$,ta giả sử được $c\geq 2$

Ta viết lại $S$ thành: $S=(c-2)ab +(a+b)^2+c^2$ là một hàm bậc nhất theo biến $ab \in [0;\frac{(a+b)^2}{4}]$ và theo bổ đề trên thì nó sẽ đạt cực tiểu tại:$ab=0$

Giả sử $a=0$ thì $b+c=6$.Lúc này: $S=b^2+c^2 \geq \frac{(b+c)^2}{2}=18$($Cauchy-Shwarz$)

Suy ra:$S \geq 18$

Vậy $S_{min}=18$ khi có một số bằng $0$,hai số còn lại bằng $3$