Cho $0\leq a;b;c\leq 3$ thoả $a+b+c=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
$S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 30-05-2017 - 11:09
Cho $0\leq a;b;c\leq 3$ thoả $a+b+c=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
$S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 30-05-2017 - 11:09
Cho $0\leq a;b;c\leq 3$ thoả $a+b+c=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
$S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$
bài này bạn lấy ở đâu vậy?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhk2: 03-06-2017 - 19:38
Mình xin trình bày lời giải.
+) $Max$
Không giảm tổng quát,giả sử $c=max(a,b,c) \Rightarrow c \geq \frac{a+b+c}{3}=2$.Tức là $c \in [2;3]$
Ta có: $S=(a+b)^2+c^2+ab(c-2)=(6-c)^2+c^2+ab(c-2)$.Mà lại có: $ab \leq \frac{(a+b)^2}{4} \Rightarrow ab(c-2) \leq \frac{(a+b)^2}{4}(c-2)=\frac{(6-c)^2}{4}(c-2)$
(Do $c-2 \geq 0$ nên bất đẳng thức không đổi chiều khi nhân hai vế đại lượng $c-2$)
Vì thế: $S \leq (6-c)^2+c^2+(c-2)\frac{(6-c)^2}{4}= \frac{c^3-6c^2+12c+72}{4}=\frac{c^3-6c^2+12c-9}{4}+\frac{81}{4} \leq \frac{81}{4} $
Bởi vì $c^3-6c^2+12c-9=(c-3)(c^2-3c+3) \leq 0$ $\forall c \in [2;3]$
Vậy $S_{max} = \frac{81}{4} \Leftrightarrow c=3;a=b \Leftrightarrow c=3;a=b=\frac{3}{2}$
+) $Min$
Dễ dàng chứng minh bổ đề sau:
$f(x)=mx+n$ và $x\in[p;q]$ trong đó $m>0$ thì hàm $f(x) đạt$ $min$ tại $x=p$
Cố định $a+b \Rightarrow c=6-a-b$ cố định.Và tương tự chiều $min$,ta giả sử được $c\geq 2$
Ta viết lại $S$ thành: $S=(c-2)ab +(a+b)^2+c^2$ là một hàm bậc nhất theo biến $ab \in [0;\frac{(a+b)^2}{4}]$ và theo bổ đề trên thì nó sẽ đạt cực tiểu tại:$ab=0$
Giả sử $a=0$ thì $b+c=6$.Lúc này: $S=b^2+c^2 \geq \frac{(b+c)^2}{2}=18$($Cauchy-Shwarz$)
Suy ra:$S \geq 18$
Vậy $S_{min}=18$ khi có một số bằng $0$,hai số còn lại bằng $3$
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh