Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
thinhtrantoan

thinhtrantoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

1, Cho a, b, c là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

$(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

2, Chứng minh với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:

$\sum \sqrt{}\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+ac}\geq 3$

3, Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$


"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"

https://www.facebook...htrantoan952002


#2
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

1, Cho a, b, c là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

$(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

Nhận thấy, nếu $a^2, b^2, c^2$ không là độ dài ba cạnh của tam giác thì trong 3 số $a^{2}+b^{2}-c^{2}; b^{2}+c^{2}-a^{2}; c^{2}+a^{2}-b^{2}$ sẽ có 2 số $\geqslant 0$, 1 số $\leqslant 0$ hoặc cả 3 số $\leqslant 0$ nên BĐT luôn đúng

Xét trường hợp các số trên là 3 cạnh của tam giác

BĐT đã cho tương đương với:

$(a^2-(b-c)^2)(b^2-(c-a)^2)(c^2-(a-b)^2)\geqslant (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

Ta chứng minh: $(a^2-(b-c)^2)^2\geqslant (a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)$

Thật vậy, bất đẳng thức đã cho tương đương với: $(b-c)^2(b^2+c^2-a^2)$ (đúng)

Lập các biểu thức hoán vị, nhân theo vế có ngay $Q.E.D$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 31-05-2017 - 12:03


#3
Kiratran

Kiratran

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết
T nghĩ đề câu 2 ở mẫu là $a^2+ab+bc$

Duyên do trời làm vương vấn một đời.


#4
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Bài 2 Sử dụng CS ra ngay

Bài 3 Theo mình thì dùng AM-GM quy về chứng minh BĐT:

$\prod{(a+b)}\geq\prod{(c+ab)}$ 

Áp dụng thêm AM-GM cho 2 số ta lại có $(a+bc)(b+ca)\leq\frac{(c+1)^2(a+b)^2}{4}$

Xây dựng các BĐT tương tự rồi nhân vế theo vế kết hợp với phép đánh giá 

$(a+1)(b+1)(c+1)\leq\frac{(a+b+c+3)^3}{27}=\frac{6^3}{27}=8$

Thì ta có $ĐPCM$

 


        AQ02

                                 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh