Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Canada MO 2017

mo 2017 canada

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 30-05-2017 - 08:40

\[\textbf{Canada MO 2017}\]

 

 

 

Bài Toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(b-a)^2}>2.$

Bài Toán 2. Cho hàm $f(n)$ từ tập các số nguyên dương đến chính nó sao cho $f(f(n))$ là số ước dương của $n$. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $f(p)$ là số nguyên tố.

Bài Toán 3. Cho số nguyên dương $n$. Một tập con khác rỗng $T_n$ của $[n]$ được gọi là cân bằng nếu trung bình cộng các phần tử của $T_n$ bằng trung gian của $T_n$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, số tập con cân bằng của $[n]$ là lẻ.

Bài Toán 4. Cho hình bình hành $ABCD$. Các điểm $P,Q$ nằm trong $ABCD$ sao cho $ABP$ và $BCQ$ là các tam giác đều. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng đi qua $P$ vuông góc với $PD$ và đường thẳng đi qua $Q$ vuông góc với $DQ$ nằm trên đường cao qua $B$ của $\triangle{ABC}$.

Bài Toán 5. Có $100$ đường tròn bán kính $1$ trong mặt phẳng sao cho các tam giác có $3$ đỉnh là $3$ tâm bất kỳ của các đường tròn này có diện tích không vượt quá $2017$. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng có điểm chung với ít nhất $3$ đường tròn.

 

Người dịch: Nguyễn Trung Tuân


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 30-05-2017 - 08:40


#2 NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:miền nam
  • Sở thích:tìm link

Đã gửi 30-05-2017 - 11:21

bài 4 không quá khó mở rộng như sau 

Hình gửi kèm

  • 18237830_1826120077715685_1514301436227518143_o.jpg


#3 tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:$\color{red}{\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar \textrm{Mathematics} \bigstar \leftarrow }}}$

Đã gửi 30-05-2017 - 11:33

\[\textbf{Canada MO 2017}\]

 

 

 

Bài Toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(b-a)^2}>2.$

$\boxed{\text{Lời giải bài 1}}$ (Phỏng theo AoPS)

Giả sử $a=min(a,b,c)$. Do $a,b,c$ đôi một khác nhau $\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=a+x & \\ c=a+y & \end{matrix}\right.$$(x\neq y)$

$\rightarrow b-c=a+x-a-y=x-y$

Ta có $\sum \frac{a^2}{(b-c)^2}=\frac{a^2}{(x-y)^2}+\frac{(a+x)^2}{y^2}+\frac{(a+y)^2}{x^2}$

Do $a \geq 0$ $\rightarrow VT\geq \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}>0$ vì $x\neq y$

Từ đây ta có $Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 30-05-2017 - 11:33


#4 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 01-06-2017 - 16:11

Lời giải bài toán 4.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 07-12-2017 - 09:11


#5 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 01-06-2017 - 16:26

Lời giải bài toán 1.

$VT= {\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{b - a}}} \right)^2} - 2\left( {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right)$

$ = \left ( \frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{b - a} \right) ^2 + 2 \ge 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 01-06-2017 - 16:29


#6 Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 301 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:vinahey :V

Đã gửi 06-12-2017 - 21:26

Ngồi buồn nên lôi cái đề này ra giải ; à mà mình làm tắt mấy chỗ đấy nhé :)

Bài toán 2:

ta nhận thấy với $p$ nguyên tố thì $f(f(p))=2$

Do đó số ước nguyên dương của $f(p)$ sẽ là $f(f(f(p))=f(2)$(1)

+)Nếu $f(2)=1$ thì số ước nguyên dương của $f(p)$ là 1; do đó $f(p)=1$ với mọi số $p$ nguyên tố

xét số $p$ nguyên tố; ta có $f(p)=1$.

Dễ thấy hàm $f\circ f$ nhân tính nên $f(f(p^3))=(f(f(p)))^3=(f(1))^3$ 

mà số ước nguyên tố của $p^3$ là $4$ nên từ đó suy ra $(f(1))^3=4$(vô lý vì $f(1)$ nguyên dương)

+)Nếu $f(2)\ne 1$

Khi đó biểu diễn $f(2)$ dưới dạng các thừa số nguyên tố như sau:

$f(2)=\prod^{n}_{i=1}p_{i}^{\alpha_{i}}$

Từ $(1)$; ta có $f(f(f(2)))=f(2)$ nên $f(2)$ bằng số ước của chính nó hay:

$\prod^{n}_{i=1}p_{i}^{\alpha_{i}}=\prod^{n}_{i=1}(\alpha_{i}+1)$

Mà ta luôn có $p_{i}^{\alpha_{i}}\ge \alpha_{i}+1(*)$; hơn nữa dấu "=" của $(*)$ chỉ xảy ra khi $\alpha_{i}=1$ và $p_{i}=2$ nên buộc $f(2)=2$

Kết hợp với $(1)$; ta suy ra $f(p)$ chỉ có 2 ước nguyên dương nên nó là số nguyên tố.


  :D :D  :D 

“Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì việc đó có ích; Anh ta nghiên cứu nó vì anh ta thấy thích thú và anh ta thấy thích thú vì nó đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng để biết, và cuộc sống không đáng để sống” :D  :D  :D 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mo 2017, canada

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh