Đến nội dung

Hình ảnh

Canada MO 2017

mo 2017 canada

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

\[\textbf{Canada MO 2017}\]

 

 

 

Bài Toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(b-a)^2}>2.$

Bài Toán 2. Cho hàm $f(n)$ từ tập các số nguyên dương đến chính nó sao cho $f(f(n))$ là số ước dương của $n$. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $f(p)$ là số nguyên tố.

Bài Toán 3. Cho số nguyên dương $n$. Một tập con khác rỗng $T_n$ của $[n]$ được gọi là cân bằng nếu trung bình cộng các phần tử của $T_n$ bằng trung gian của $T_n$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, số tập con cân bằng của $[n]$ là lẻ.

Bài Toán 4. Cho hình bình hành $ABCD$. Các điểm $P,Q$ nằm trong $ABCD$ sao cho $ABP$ và $BCQ$ là các tam giác đều. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng đi qua $P$ vuông góc với $PD$ và đường thẳng đi qua $Q$ vuông góc với $DQ$ nằm trên đường cao qua $B$ của $\triangle{ABC}$.

Bài Toán 5. Có $100$ đường tròn bán kính $1$ trong mặt phẳng sao cho các tam giác có $3$ đỉnh là $3$ tâm bất kỳ của các đường tròn này có diện tích không vượt quá $2017$. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng có điểm chung với ít nhất $3$ đường tròn.

 

Người dịch: Nguyễn Trung Tuân


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 30-05-2017 - 08:40


#2
NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

bài 4 không quá khó mở rộng như sau 

Hình gửi kèm

  • 18237830_1826120077715685_1514301436227518143_o.jpg


#3
tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết

\[\textbf{Canada MO 2017}\]

 

 

 

Bài Toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(b-a)^2}>2.$

$\boxed{\text{Lời giải bài 1}}$ (Phỏng theo AoPS)

Giả sử $a=min(a,b,c)$. Do $a,b,c$ đôi một khác nhau $\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=a+x & \\ c=a+y & \end{matrix}\right.$$(x\neq y)$

$\rightarrow b-c=a+x-a-y=x-y$

Ta có $\sum \frac{a^2}{(b-c)^2}=\frac{a^2}{(x-y)^2}+\frac{(a+x)^2}{y^2}+\frac{(a+y)^2}{x^2}$

Do $a \geq 0$ $\rightarrow VT\geq \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}>0$ vì $x\neq y$

Từ đây ta có $Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 30-05-2017 - 11:33


#4
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

Lời giải bài toán 4.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 07-12-2017 - 09:11


#5
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

Lời giải bài toán 1.

$VT= {\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{b - a}}} \right)^2} - 2\left( {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right)$

$ = \left ( \frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{b - a} \right) ^2 + 2 \ge 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 01-06-2017 - 16:29


#6
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

Ngồi buồn nên lôi cái đề này ra giải ; à mà mình làm tắt mấy chỗ đấy nhé :)

Bài toán 2:

ta nhận thấy với $p$ nguyên tố thì $f(f(p))=2$

Do đó số ước nguyên dương của $f(p)$ sẽ là $f(f(f(p))=f(2)$(1)

+)Nếu $f(2)=1$ thì số ước nguyên dương của $f(p)$ là 1; do đó $f(p)=1$ với mọi số $p$ nguyên tố

xét số $p$ nguyên tố; ta có $f(p)=1$.

Dễ thấy hàm $f\circ f$ nhân tính nên $f(f(p^3))=(f(f(p)))^3=(f(1))^3$ 

mà số ước nguyên tố của $p^3$ là $4$ nên từ đó suy ra $(f(1))^3=4$(vô lý vì $f(1)$ nguyên dương)

+)Nếu $f(2)\ne 1$

Khi đó biểu diễn $f(2)$ dưới dạng các thừa số nguyên tố như sau:

$f(2)=\prod^{n}_{i=1}p_{i}^{\alpha_{i}}$

Từ $(1)$; ta có $f(f(f(2)))=f(2)$ nên $f(2)$ bằng số ước của chính nó hay:

$\prod^{n}_{i=1}p_{i}^{\alpha_{i}}=\prod^{n}_{i=1}(\alpha_{i}+1)$

Mà ta luôn có $p_{i}^{\alpha_{i}}\ge \alpha_{i}+1(*)$; hơn nữa dấu "=" của $(*)$ chỉ xảy ra khi $\alpha_{i}=1$ và $p_{i}=2$ nên buộc $f(2)=2$

Kết hợp với $(1)$; ta suy ra $f(p)$ chỉ có 2 ước nguyên dương nên nó là số nguyên tố.


Sống khỏe và sống tốt :D






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mo 2017, canada

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh