\[\textbf{Canada MO 2017}\]
Bài Toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(b-a)^2}>2.$
Bài Toán 2. Cho hàm $f(n)$ từ tập các số nguyên dương đến chính nó sao cho $f(f(n))$ là số ước dương của $n$. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $f(p)$ là số nguyên tố.
Bài Toán 3. Cho số nguyên dương $n$. Một tập con khác rỗng $T_n$ của $[n]$ được gọi là cân bằng nếu trung bình cộng các phần tử của $T_n$ bằng trung gian của $T_n$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, số tập con cân bằng của $[n]$ là lẻ.
Bài Toán 4. Cho hình bình hành $ABCD$. Các điểm $P,Q$ nằm trong $ABCD$ sao cho $ABP$ và $BCQ$ là các tam giác đều. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng đi qua $P$ vuông góc với $PD$ và đường thẳng đi qua $Q$ vuông góc với $DQ$ nằm trên đường cao qua $B$ của $\triangle{ABC}$.
Bài Toán 5. Có $100$ đường tròn bán kính $1$ trong mặt phẳng sao cho các tam giác có $3$ đỉnh là $3$ tâm bất kỳ của các đường tròn này có diện tích không vượt quá $2017$. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng có điểm chung với ít nhất $3$ đường tròn.
Người dịch: Nguyễn Trung Tuân
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 30-05-2017 - 08:40