Chủ đề này có 14 trả lời

[datthyqt]

Cho $a;b;c>0$

 thỏa mãn   $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 30-05-2017 - 12:06

[Hoang Dinh Nhat]

Có: $\frac{2a^2+1}{a}\geq a^2+2\Leftrightarrow -(a-1)(x^2-x+1)\geq 0$.

Với $0<x$$\leq 1$ thì BĐT luôn đúng nên áp dụng ta có $P\geq 9$

Với $1<x<2$ dùng đạo hàm dễ dàng cm được: $\frac{2a^2+1}{a}>3$ nên $P>9$

Vậy GTNN của $P$ là 9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 30-05-2017 - 20:13

[datthyqt]

Có: $\frac{2a^2+1}{a}\geq a+2\Leftrightarrow (a-1)^2\geq 0$. Rồi áp dụng

a+b+c$\leq 3$ mà bạn

[didifulls]

Cho $a;b;c>0$

 thỏa mãn   $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh BĐT phụ sau :
$2x + \frac{1}{x}  \geq \frac{1}{2} x^2 +\frac{5}{2}$ 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi didifulls: 30-05-2017 - 17:15

[cahoangkim123]

Chứng minh BĐT phụ sau :
$2x + \frac{1}{x}  \geq \frac{5}{2} x^2 +\frac{1}{2}$ 
 

rồi sao nữa bạn

[didifulls]

rồi sao nữa bạn

Thay x bởi a,b,c cộng 3 vế của BĐT lại bạn có đpcm
 

[Hoang Dinh Nhat]

Thay x bởi a,b,c cộng 3 vế của BĐT lại bạn có đpcm
 

 

BĐT ko đúng khi $1<x<3$

[didifulls]

BĐT ko đúng khi $1<x<3$

MÌnh đã xem lại !!!
Hì mình viết ngược hệ số :V
Phải là : $2x + \frac{1}{x}  \geq \frac{1}{2} x^2 +\frac{5}{2}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi didifulls: 30-05-2017 - 17:16

[Hoang Dinh Nhat]

 

MÌnh đã xem lại !!!
Hì mình viết ngược hệ số :V
Phải là : $2x + \frac{1}{x}  \geq \frac{1}{2} x^2 +\frac{5}{2}$ 

 

giờ thì BĐT lại sai khi $2<x<3$

[tuaneee111]

Ta có: $$\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right){\left( {x + y + z} \right)^2} = \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\left( {3 + 2xy + 2yz + 2xz} \right)$$$$ = 3\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{x}}  + 4\sum\limits_{cyc} x  + \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}} \right)}  \geqslant 3\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{x}}  + \sum\limits_{cyc} x  + \sum\limits_{cyc} x } \right) \geqslant 9\root 3 \of {\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{x}} } \right){{\left( {\sum\limits_{cyc} x } \right)}^2}} $$$$ \Rightarrow {\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{x}} .{{\left( {\sum\limits_{cyc} x } \right)}^2}} \right)^3} \geqslant {9^3}\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{x}} .{\left( {\sum\limits_{cyc} x } \right)^2} \Rightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{x}} .{\left( {\sum\limits_{cyc} x } \right)^2} \geqslant 27$$Mặt khác ta lại có: $$P = 2\left( {x + y + z} \right) + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \sum\limits_{cyc} x  + \sum\limits_{cyc} x  + \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{x}}  \geqslant 3\root 3 \of {{{\left( {\sum\limits_{cyc} x } \right)}^2}\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{x}} }  = 9$$

 

[linhk2]

trông nó cứ giống giống bài bất của TB năm 2015-2016

[didifulls]

giờ thì BĐT lại sai khi $2<x<3$

Uiz ...  BĐT đúng trong đk của đề bài là x^2 +y^2 +z^2 =3
=> $0<x< \sqrt{3}$
Cách này k sai đ.c đâu !!! :V

[datthyqt]

Chứng minh BĐT phụ sau :
$2x + \frac{1}{x}  \geq \frac{1}{2} x^2 +\frac{5}{2}$ 
 

Làm sao dể tim ra cái vế $\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{2}$ vậy ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datthyqt: 30-05-2017 - 21:22

[duylax2412]

Làm sao dể tim ra cái vế $\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{2}$ vậy ???

Trước hết bạn đánh giá: $2x+\frac{1}{x} \geq mx^2+n$$(*)$

Dấu "=" xảy ra khi $x=1$.(Dự đoán đầu bài).Từ đây cho ta: $m+n=3$

Và để cho BĐT phụ trên đúng thì khi biến đổi tương đương về dạng $f(x) \geq 0$ thì phải chứa nhân tử $(x-1)^2$

Lấy đạo hàm hai vế của (*) và thay $x=1$ bạn tìm ra $m$ từ đó tìm ra $n$

[datthyqt]

Trước hết bạn đánh giá: $2x+\frac{1}{x} \geq mx^2+n$$(*)$

Dấu "=" xảy ra khi $x=1$.(Dự đoán đầu bài).Từ đây cho ta: $m+n=3$

Và để cho BĐT phụ trên đúng thì khi biến đổi tương đương về dạng $f(x) \geq 0$ thì phải chứa nhân tử $(x-1)^2$

Lấy đạo hàm hai vế của (*) và thay $x=1$ bạn tìm ra $m$ từ đó tìm ra $n$

Mình chưa học đạo hàm, bạn 13 tuổi mà biết rồi siêu thật      

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datthyqt: 30-05-2017 - 21:45