Chủ đề này có 4 trả lời

[Ruby Dalek]

Bài 1: Chứng minh rằng: Giữa hai số thực bất kỳ có một số vô tỷ, tức là tập các số vô tỷ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Bài 2: Người ta gọi mỗi số hữu tỷ có dạng $\frac{m}{2^n}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$ là một số dyadic.

Chứng minh rằng: Tập các số dyadic trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Bài 3: 

1. Cho $D,E$ là hai bộ phận của $\mathbb{R}$ sao cho $D$ trù mật trong $\mathbb{R}$ và $D \subset E$.

Chứng minh rằng: $E$ là một tập trù mật trong $\mathbb{R}$.

2. Cho $D$ là một bộ phận của $\mathbb{R}$ và trù mật trong $\mathbb{R}$, $F$ là bộ phận hữu hạn của $D$.

Chứng minh rằng: $D \setminus F$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Bài 4: Ký hiệu $E=\{ q^2 : q \in \mathbb{Q}\}, -E = \{-q^2 : q \in \mathbb{Q}\}, D= E \cup -E$.

Chứng minh rằng $D$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruby Dalek: 30-05-2017 - 16:26

[bangbang1412]

Bài 1: Chứng minh rằng: Giữa hai số thực bất kỳ có một số vô tỷ, tức là tập các số vô tỷ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Bài 2: Người ta gọi mỗi số hữu tỷ có dạng $\frac{m}{2^n}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$ là một số dyadic.

Chứng minh rằng: Tập các số dyadic trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Bài 3: 

1. Cho $D,E$ là hai bộ phận của $\mathbb{R}$ sao cho $D$ trù mật trong $\mathbb{R}$ và $D \subset E$.

Chứng minh rằng: $E$ là một tập trù mật trong $\mathbb{R}$.

2. Cho $D$ là một bộ phận của $\mathbb{R}$ và trù mật trong $\mathbb{R}$, $F$ là bộ phận hữu hạn của $D$.

Chứng minh rằng: $D \setminus F$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Bài 4: Ký hiệu $E=\{ q^2 : q \in \mathbb{Q}\}, -E = \{-q^2 : q \in \mathbb{Q}\}, D= E \cup -E$.

Chứng minh rằng $D$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 Bài $1,4:$https://math.dartmou...densitynote.pdf

Bài $2$ : https://math.stackex...ional-are-dense

Bài $3$ :

$1)$ Xem phần $2$ .  

$2)$ Điều kiện trù mật trong $R$ là $\forall x \in R \exists (x_{n}) \in D , \lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ , khi bỏ đi một hữu hạn các phần tử trong $D$ thì $lim$ của dãy số không thay đổi do đó $D \ F$ vẫn trù mật .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 30-05-2017 - 16:51

[Ruby Dalek]

 Bài $1,4:$https://math.dartmou...densitynote.pdf

Bài $2$ : https://math.stackex...ional-are-dense

Bài $3$ :

$1)$ Xem phần $2$ .  

$2)$ Điều kiện trù mật trong $R$ là $\forall x \in R \exists (x_{n}) \in D , \lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ , khi bỏ đi một hữu hạn các phần tử trong $D$ thì $lim$ của dãy số không thay đổi do đó $D \ F$ vẫn trù mật .

Trong tài liệu a đưa thì ở bài 1 họ có chứng minh luôn tồn tại một số giữa hai số thực bất kỳ. E không biết chứng minh số vô tỷ kiểu gì ạ

[bangbang1412]

Trong tài liệu a đưa thì ở bài 1 họ có chứng minh luôn tồn tại một số giữa hai số thực bất kỳ. E không biết chứng minh số vô tỷ kiểu gì ạ

Có rất nhiều hướng tiếp cận . Xét một khoảng $(a,b)$ giả sử không có số vô tỷ nào giữa nó vậy mình sẽ tiếp cận theo $2$ hướng 

$1)$ Dựa vào kết quả giữa hai số thực luôn có một số hữu tỷ . Xét hai số thực $a + \sqrt{2} < b + \sqrt{2}$ , rõ ràng có một số hữu tỷ $r$ mà $a + \sqrt{2} < r < b + \sqrt{2}$ hay $a < r - \sqrt{2} < b$

$2)$ Ta thấy nếu $(a,b)$ chỉ gồm toàn số hữu tỷ thế thì $(a,b)$ là đếm được . Trong khi ta biết $(a,b)$ đồng phôi với $R$ tức là không đếm được , vậy vô lý . 

[Ruby Dalek]

 Bài $1,4:$https://math.dartmou...densitynote.pdf

Bài $2$ : https://math.stackex...ional-are-dense

Bài $3$ :

$1)$ Xem phần $2$ .  

$2)$ Điều kiện trù mật trong $R$ là $\forall x \in R \exists (x_{n}) \in D , \lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ , khi bỏ đi một hữu hạn các phần tử trong $D$ thì $lim$ của dãy số không thay đổi do đó $D \ F$ vẫn trù mật .

Anh có thể nói kỳ hơn cho e bài 2 được không ạ?
E chưa hiểu rõ lắm