Chủ đề này có 3 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=1$ và đường thẳng $d : x-2=y=-z.$ Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d , tiếp xúc với (S) tại P và Q. Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng PQ.

[chanhquocnghiem]

Bài toán : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=1$ và đường thẳng $d : x-2=y=-z.$ Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d , tiếp xúc với (S) tại P và Q. Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng PQ.

$d:x-2=y=-z\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y-2=0\\y+z=0 \end{matrix}\right.$

Các mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa $d$ nên phương trình của chúng đều có dạng

$x-y-2+m(y+z)=0$ hay $x+(m-1)y+mz-2=0$ ($m$ là tham số cần tìm)

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$, bán kính bằng $1$

$d_{I,(P)}=d_{I,(Q)}=\frac{|0+(m-1).1+m.(-1)-2|}{\sqrt{1+(m-1)^2+m^2}}=1\Leftrightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{15}}{2}$

Vậy $(P):2x+(\sqrt{15}-1)y+(1+\sqrt{15})z-4=0$ (1)

       $(Q):2x-(\sqrt{15}+1)y+(1-\sqrt{15})z-4=0$ (2)

$IP\perp (P)\Rightarrow IP:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{\sqrt{15}-1}=\frac{z+1}{1+\sqrt{15}}$ (3)

$IQ\perp (Q)\Rightarrow IQ:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-\sqrt{15}-1}=\frac{z+1}{1-\sqrt{15}}$ (4)

(1),(3) $\Rightarrow P\left ( \frac{1}{3};\frac{\sqrt{15}+5}{6};\frac{\sqrt{15}-5}{6} \right )$ (5)

(2),(4) $\Rightarrow Q\left ( \frac{1}{3};\frac{-\sqrt{15}+5}{6};\frac{-\sqrt{15}-5}{6} \right )$ (6)

(5),(6) $\Rightarrow$ trung điểm của $PQ$ là $H\left ( \frac{1}{3};\frac{5}{6};-\frac{5}{6} \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 30-05-2017 - 22:00

[caybutbixanh]

$d:x-2=y=-z\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y-2=0\\y+z=0 \end{matrix}\right.$

Các mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa $d$ nên phương trình của chúng đều có dạng

$x-y-2+m(y+z)=0$ hay $x+(m-1)y+mz-2=0$ ($m$ là tham số cần tìm)

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$, bán kính bằng $1$

$d_{I,(P)}=d_{I,(Q)}=\frac{|0+(m-1).1+m.(-1)-2|}{\sqrt{1+(m-1)^2+m^2}}=1\Leftrightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{15}}{2}$

Vậy $(P):2x+(\sqrt{15}-1)y+(1+\sqrt{15})z-4=0$ (1)

       $(Q):2x-(\sqrt{15}+1)y+(1-\sqrt{15})z-4=0$ (2)

$IP\perp (P)\Rightarrow IP:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{\sqrt{15}-1}=\frac{z+1}{1+\sqrt{15}}$ (3)

$IQ\perp (Q)\Rightarrow IQ:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-\sqrt{15}-1}=\frac{z+1}{1-\sqrt{15}}$ (4)

(1),(3) $\Rightarrow P\left ( \frac{1}{3};\frac{\sqrt{15}+5}{6};\frac{\sqrt{15}-5}{6} \right )$ (5)

(2),(4) $\Rightarrow Q\left ( \frac{1}{3};\frac{-\sqrt{15}+5}{6};\frac{-\sqrt{15}-5}{6} \right )$ (6)

(5),(6) $\Rightarrow$ trung điểm của $PQ$ là $H\left ( \frac{1}{3};\frac{5}{6};-\frac{5}{6} \right )$.

Đây là cách của cháu :

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$; bán kính $R=1$

(P) và (Q) cùng chứa d nên d là giao tuyến chung của 2 mặt. Kéo dài IH cắt d tại F.

Ta chứng minh IF vuông d.

IP _|_ (P) suy ra IP_|_ d. tương tự IQ _|_ d. Suy ra d_|_(IPQ) từ đó d_|_IF.(*)

tham số hóa $F(t+2;t-1;-t+1)$ từ (*) có $F(2;0;0)$

Xét tam giác vuông $IPF$ ta tính được $\frac{IH}{IF}=\frac{1}{6}$ suy ra $\overrightarrow{IH}=\frac{1}{6}.\overrightarrow{IF}\Rightarrow H(\frac{1}{3};\frac{5}{6};\frac{-5}{6})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 02-06-2017 - 10:41

[N2AI2NIS]

tham số hóa $F(t+2;t-1;-t+1)$ từ (*) có $F(2;0;0)$

Xét tam giác vuông $IPF$ ta tính được $\frac{IH}{IF}=\frac{1}{6}$ suy ra $\overrightarrow{IH}=\frac{1}{6}.\overrightarrow{IF}\Rightarrow H(\frac{1}{3};\frac{5}{6};\frac{-5}{6})$

Mình chưa hiểu đoạn này lắm, mong bạn giải thích thêm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N2AI2NIS: 10-06-2019 - 10:44