Bài toán : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=1$ và đường thẳng $d : x-2=y=-z.$ Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d , tiếp xúc với (S) tại P và Q. Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng PQ.
Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng PQ.
#2
Đã gửi 30-05-2017 - 21:59
Bài toán : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=1$ và đường thẳng $d : x-2=y=-z.$ Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d , tiếp xúc với (S) tại P và Q. Tìm tọa độ trung điểm H của đoạn thẳng PQ.
$d:x-2=y=-z\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y-2=0\\y+z=0 \end{matrix}\right.$
Các mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa $d$ nên phương trình của chúng đều có dạng
$x-y-2+m(y+z)=0$ hay $x+(m-1)y+mz-2=0$ ($m$ là tham số cần tìm)
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$, bán kính bằng $1$
$d_{I,(P)}=d_{I,(Q)}=\frac{|0+(m-1).1+m.(-1)-2|}{\sqrt{1+(m-1)^2+m^2}}=1\Leftrightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{15}}{2}$
Vậy $(P):2x+(\sqrt{15}-1)y+(1+\sqrt{15})z-4=0$ (1)
$(Q):2x-(\sqrt{15}+1)y+(1-\sqrt{15})z-4=0$ (2)
$IP\perp (P)\Rightarrow IP:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{\sqrt{15}-1}=\frac{z+1}{1+\sqrt{15}}$ (3)
$IQ\perp (Q)\Rightarrow IQ:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-\sqrt{15}-1}=\frac{z+1}{1-\sqrt{15}}$ (4)
(1),(3) $\Rightarrow P\left ( \frac{1}{3};\frac{\sqrt{15}+5}{6};\frac{\sqrt{15}-5}{6} \right )$ (5)
(2),(4) $\Rightarrow Q\left ( \frac{1}{3};\frac{-\sqrt{15}+5}{6};\frac{-\sqrt{15}-5}{6} \right )$ (6)
(5),(6) $\Rightarrow$ trung điểm của $PQ$ là $H\left ( \frac{1}{3};\frac{5}{6};-\frac{5}{6} \right )$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 30-05-2017 - 22:00
- caybutbixanh yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 02-06-2017 - 10:39
$d:x-2=y=-z\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y-2=0\\y+z=0 \end{matrix}\right.$
Các mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa $d$ nên phương trình của chúng đều có dạng
$x-y-2+m(y+z)=0$ hay $x+(m-1)y+mz-2=0$ ($m$ là tham số cần tìm)
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$, bán kính bằng $1$
$d_{I,(P)}=d_{I,(Q)}=\frac{|0+(m-1).1+m.(-1)-2|}{\sqrt{1+(m-1)^2+m^2}}=1\Leftrightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{15}}{2}$
Vậy $(P):2x+(\sqrt{15}-1)y+(1+\sqrt{15})z-4=0$ (1)
$(Q):2x-(\sqrt{15}+1)y+(1-\sqrt{15})z-4=0$ (2)
$IP\perp (P)\Rightarrow IP:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{\sqrt{15}-1}=\frac{z+1}{1+\sqrt{15}}$ (3)
$IQ\perp (Q)\Rightarrow IQ:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-\sqrt{15}-1}=\frac{z+1}{1-\sqrt{15}}$ (4)
(1),(3) $\Rightarrow P\left ( \frac{1}{3};\frac{\sqrt{15}+5}{6};\frac{\sqrt{15}-5}{6} \right )$ (5)
(2),(4) $\Rightarrow Q\left ( \frac{1}{3};\frac{-\sqrt{15}+5}{6};\frac{-\sqrt{15}-5}{6} \right )$ (6)
(5),(6) $\Rightarrow$ trung điểm của $PQ$ là $H\left ( \frac{1}{3};\frac{5}{6};-\frac{5}{6} \right )$.
Đây là cách của cháu :
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$; bán kính $R=1$
(P) và (Q) cùng chứa d nên d là giao tuyến chung của 2 mặt. Kéo dài IH cắt d tại F.
Ta chứng minh IF vuông d.
IP _|_ (P) suy ra IP_|_ d. tương tự IQ _|_ d. Suy ra d_|_(IPQ) từ đó d_|_IF.(*)
tham số hóa $F(t+2;t-1;-t+1)$ từ (*) có $F(2;0;0)$
Xét tam giác vuông $IPF$ ta tính được $\frac{IH}{IF}=\frac{1}{6}$ suy ra $\overrightarrow{IH}=\frac{1}{6}.\overrightarrow{IF}\Rightarrow H(\frac{1}{3};\frac{5}{6};\frac{-5}{6})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 02-06-2017 - 10:41
- chanhquocnghiem yêu thích
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
#4
Đã gửi 10-06-2019 - 10:32
tham số hóa $F(t+2;t-1;-t+1)$ từ (*) có $F(2;0;0)$
Xét tam giác vuông $IPF$ ta tính được $\frac{IH}{IF}=\frac{1}{6}$ suy ra $\overrightarrow{IH}=\frac{1}{6}.\overrightarrow{IF}\Rightarrow H(\frac{1}{3};\frac{5}{6};\frac{-5}{6})$
Mình chưa hiểu đoạn này lắm, mong bạn giải thích thêm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N2AI2NIS: 10-06-2019 - 10:44
N2AI2NIS
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh