Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}} \geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 lovengan22

lovengan22

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Đã gửi 31-05-2017 - 13:07

Cho a,b,c là 3 số dương t/man~ : x+y+z =3 .Cm:

a/ $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq x^{3} + y^{3} +z^{3}$

 
b/  $\frac{x^{3}}{y^{2} + z^{2}} + \frac{y^{3}}{z^{2}+x^{2}} + \frac{z^{3}}{x^{2}+y^{2}} \geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 31-05-2017 - 20:11


#2 githenhi512

githenhi512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng

Đã gửi 31-05-2017 - 13:14

 

Cho a,b,c là 3 số dương t/man~ : x+y+z =3 .Cm:

a/ $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq x^{3} + y^{3} +z^{3}$

 
b/  $\frac{x^{3}}{y^{2} + z^{2}} + \frac{y^{3}}{z^{2}+x^{2}} + \frac{z^{3}}{x^{2}+y^{2}} \geq \frac{3}{2}$

 

a. Áp dụng bđt phụ $a^3+b^3\geqslant ab(a+b)$

$\Rightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\leq 2(x^3+y^3+z^3)$

$\Rightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq 3(x^3+y^3+z^3)\Rightarrow đpcm$

b. $\frac{x^2}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\geq x-\frac{y}{2}$

Tương tự, cộng vế vs vế ta có đpcm  :)


'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.

Albert Einstein                               


#3 lovengan22

lovengan22

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Đã gửi 31-05-2017 - 15:46

a. Áp dụng bđt phụ $a^3+b^3\geqslant ab(a+b)$

$\Rightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\leq 2(x^3+y^3+z^3)$

$\Rightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq 3(x^3+y^3+z^3)\Rightarrow đpcm$

b. $\frac{x^2}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\geq x-\frac{y}{2}$

Tương tự, cộng vế vs vế ta có đpcm  :)

 

Bạn ơi đề bài là $\frac{x^{3}}{y^{2} + z^{2}}$ mà


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovengan22: 31-05-2017 - 15:48


#4 tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:Học toán$$\boxed{\heartsuit \prec VMF \succ \heartsuit }$$

Đã gửi 31-05-2017 - 18:26

ý b.

Theo bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ dạng $Engel$ ta có: $$ \displaystyle \sum\limits_{{cyc}}{{\frac{{{{x}^{3}}}}{{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}}}\ge \frac{{{{{\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)}}^{2}}}}{{\sum\limits_{{cyc}}{{\left( {x{{y}^{2}}+x{{z}^{2}}} \right)}}}}$$

Khi đó ta cần chứng minh: $$2{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} - 3\left( {\sum\limits_{cyc} {x{y^2}}  + \sum\limits_{cyc} {x{z^2}} } \right) \geqslant 0$$$$ \Leftrightarrow 2{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} - \left( {x + y + z} \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {x{y^2}}  + \sum\limits_{cyc} {x{z^2}} } \right) \geqslant 0$$$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}} \left( {2{a^2} + 2{b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} \right) \geqslant 0$$ Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên có đpcm!


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#5 tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:Học toán$$\boxed{\heartsuit \prec VMF \succ \heartsuit }$$

Đã gửi 31-05-2017 - 18:28

ý a

Sử dụng giả thiết ta có: $$\sum\limits_{cyc} {{x^3}}  - \sum\limits_{cyc} {{x^2}}  = \sum\limits_{cyc} {\left( {{x^3} - {x^2} - x + 1} \right)}  = \sum\limits_{cyc} {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}  \geqslant 0$$Vậy có đpcm!


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#6 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 31-05-2017 - 20:59

a) BĐT cần chứng minh: $3(x^3+y^3+z^3)^2\geq 3(x^2+y^2+z^2)^2$

Theo Holder ta có: $3(x^3+y^3+z^3)^2\geq (x^2+y^2+z^2)^3$

Ta cần chứng minh: $(x^2+y^2+z^2)^3\geq 3(x^2+y^2+z^2)^2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$

Lại có: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=3$ đpcm


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh