Cho a,b,c là 3 số dương t/man~ : x+y+z =3 .Cm:
a/ $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq x^{3} + y^{3} +z^{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 31-05-2017 - 20:11
Cho a,b,c là 3 số dương t/man~ : x+y+z =3 .Cm:
a/ $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq x^{3} + y^{3} +z^{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 31-05-2017 - 20:11
Cho a,b,c là 3 số dương t/man~ : x+y+z =3 .Cm:
a/ $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq x^{3} + y^{3} +z^{3}$
b/ $\frac{x^{3}}{y^{2} + z^{2}} + \frac{y^{3}}{z^{2}+x^{2}} + \frac{z^{3}}{x^{2}+y^{2}} \geq \frac{3}{2}$
a. Áp dụng bđt phụ $a^3+b^3\geqslant ab(a+b)$
$\Rightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\leq 2(x^3+y^3+z^3)$
$\Rightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq 3(x^3+y^3+z^3)\Rightarrow đpcm$
b. $\frac{x^2}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\geq x-\frac{y}{2}$
Tương tự, cộng vế vs vế ta có đpcm
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
a. Áp dụng bđt phụ $a^3+b^3\geqslant ab(a+b)$
$\Rightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\leq 2(x^3+y^3+z^3)$
$\Rightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq 3(x^3+y^3+z^3)\Rightarrow đpcm$
b. $\frac{x^2}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\geq x-\frac{y}{2}$
Tương tự, cộng vế vs vế ta có đpcm
Bạn ơi đề bài là $\frac{x^{3}}{y^{2} + z^{2}}$ mà
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovengan22: 31-05-2017 - 15:48
ý b.
Theo bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ dạng $Engel$ ta có: $$ \displaystyle \sum\limits_{{cyc}}{{\frac{{{{x}^{3}}}}{{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}}}\ge \frac{{{{{\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)}}^{2}}}}{{\sum\limits_{{cyc}}{{\left( {x{{y}^{2}}+x{{z}^{2}}} \right)}}}}$$
Khi đó ta cần chứng minh: $$2{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} - 3\left( {\sum\limits_{cyc} {x{y^2}} + \sum\limits_{cyc} {x{z^2}} } \right) \geqslant 0$$$$ \Leftrightarrow 2{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} - \left( {x + y + z} \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {x{y^2}} + \sum\limits_{cyc} {x{z^2}} } \right) \geqslant 0$$$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}} \left( {2{a^2} + 2{b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} \right) \geqslant 0$$ Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên có đpcm!
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
ý a
Sử dụng giả thiết ta có: $$\sum\limits_{cyc} {{x^3}} - \sum\limits_{cyc} {{x^2}} = \sum\limits_{cyc} {\left( {{x^3} - {x^2} - x + 1} \right)} = \sum\limits_{cyc} {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}} \geqslant 0$$Vậy có đpcm!
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
a) BĐT cần chứng minh: $3(x^3+y^3+z^3)^2\geq 3(x^2+y^2+z^2)^2$
Theo Holder ta có: $3(x^3+y^3+z^3)^2\geq (x^2+y^2+z^2)^3$
Ta cần chứng minh: $(x^2+y^2+z^2)^3\geq 3(x^2+y^2+z^2)^2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$
Lại có: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=3$ đpcm
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh