Chủ đề này có 1 trả lời

[dunghoiten]

Bài toán: Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân có đáy lớn $AD=a\sqrt{2}$ biết $CD \perp (ABA'B')$ và $A'B' \perp (CDC'D')$.Góc hợp bởi $BC'$ và $(ABCD)$ là $60^o$, góc hợp bởi $A'D$ và $(ABCD)$ là $\alpha$ sao cho $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Tính $d(AB', CD')$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 31-05-2017 - 20:54

[leminhnghiatt]

Bài toán: Cho hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân có đáy lớn $AD=a\sqrt{2}$ biết $CD \perp (ABA'B')$ và $A'B' \perp (CDC'D')$.Góc hợp bởi $BC'$ và $(ABCD)$ là $60^o$, góc hợp bởi $A'D$ và $(ABCD)$ là $\alpha$ sao cho $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Tính $d(AB', CD')$

$A'B' \perp (CDC'D') \rightarrow AB \perp (CDC'D') \rightarrow (ABCD) \rightarrow (CDC'D')$ (1)

TT ta có: $CD \perp (ABA'B') \rightarrow (ABCD) \perp (ABA'B')$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra giao tuyến của $(ABA'B')$ và $(CDC'D')$ vuông góc với $(ABCD)$

$\Rightarrow AA' \perp (ABCD)$

Xét $\Delta ADA' \rightarrow AA'=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Xét $\Delta C'CB \rightarrow CB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta thấy: $AB \perp CD$ nên $AB$ cắt $CD$ tạo thành tam giác cân

Tính được: $AB=CD=\dfrac{a}{2}; \ A'B=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$

Ta có: $BC // A'D'; A'B=CD' \rightarrow BCA'D'$ là hình thang cân

Lấy giao $AB'$ và $A'B$ là $I$

Xét trong $(A'BCD')$ kẻ $IK // CD' \rightarrow CD' // (AKB) \rightarrow d(CD',AB)=d(CD',(AKB'))=d(D',(AKB')$

Kéo dài $A'B$ cắt $CD'$ tại $P \rightarrow \dfrac{BC}{A'D'}=\dfrac{PB}{PA'}=\dfrac{1}{2}$

$\rightarrow \dfrac{A'I}{A'P}=\dfrac{AK}{AD'}=\dfrac{1}{4}$

$\rightarrow d(D',(AKB'))=3d(A',(AKB'))$

Dễ thấy $AK \perp BK$ (dựa py-ta-go đảo) $\rightarrow d(A',(AKB'))=\dfrac{AA'.A'K}{\sqrt{AA'^2+A'K^2}}=\dfrac{a\sqrt{78}}{26}$

$\rightarrow d(CD',AB')=3d(A',(AKB'))=\dfrac{3a\sqrt{78}}{26}$