Chủ đề này có 9 trả lời

[nguyenduy287]

cho a,b,c>0 , a+b+c=3. Cmr :$\frac{a^2}{a+ 2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\geq 1$

[tuaneee111]

Theo $ Cauchy - Schwarz$ ta có:  $$\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}}}  \geqslant \frac{{{{\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{cyc} {{a^3}}  + 2\sum\limits_{cyc} {{a^2}{b^2}} }}$$Đến đây cần chứng minh bất đẳng thức sau đúng:$${\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)^2} \geqslant \sum\limits_{cyc} {{a^3}}  + 2\sum\limits_{cyc} {{a^2}{b^2}}  \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {{a^4}}  \geqslant \sum\limits_{cyc} {{a^3}} $$Mặt khác sử dụng giả thiết ta có:$$\sum\limits_{cyc} {{a^4}}  - \sum\limits_{cyc} {{a^3}}  = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - 1} \right)}^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)}  \geqslant 0$$Vậy có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 01-06-2017 - 21:57

[duylax2412]

Bài này dùng KT Cô-si ngược dấu quy về chứng minh $\sum \sqrt[3]{(ab)^2} \leq 3$.

Có: $ \sqrt[3]{(ab)^2}\leq\frac{2ab+1}{3} .$ ($AM-GM$).Tương tự,cộng vế có:

$ \sum \sqrt[3]{(ab)^2}\leq \frac{2ab+2bc+2ca+3}{3} \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 01-06-2017 - 22:23

[Hoang Dinh Nhat]

cho a,b,c>0 , a+b+c=3. Cmr :$\frac{a^2}{a+ 2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\geq 1$

 

Ta có BĐT: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum (a-\frac{2ab^2}{a+2b^2})\geq \sum (a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}})=\sum (a-\frac{2\sqrt[3]{a^2b^2}}{3})$

Cần chứng minh : $\sum \sqrt[3]{a^2b^2}\leq 3$

Theo AM-GM: $\sum \sqrt[3]{a^2b^2}\leq \sum \frac{a+ab+b}{3}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 01-06-2017 - 22:35

[Baoriven]

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 02-06-2017 - 14:52

[TenLaGi]

Ta có thể làm như sau:

$P=\sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum \frac{2a^2}{2a+4b^2}\geq \sum \frac{2a^2}{a^2+1+4b^2}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{5(a^2+b^2+c^2)+3}$

Lưu ý rằng: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$.

Từ đó suy ra: $P\geq \frac{2(a+b+c)^2}{5(a^2+b^2+c^2)+3}=\frac{18}{5(a^2+b^2+c^2+6)-27}\geq \frac{18}{5[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]-27}=1$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.

a,b,c không đồng thời nhỏ hơn 1 đâu anh. Đoạn này không ổn!!

[tuaneee111]

a,b,c không đồng thời nhỏ hơn 1 đâu anh. Đoạn này không ổn!!

Mình nghĩ đó là đánh giá đúng mà vì ${\left( {a - 1} \right)^2} = {a^2} - 2a + 1 \geqslant 0 \Rightarrow 2a \geqslant {a^2} + 1$, cái này thì đâu cần đk gì

[TenLaGi]

Mình nghĩ đó là đánh giá đúng mà vì ${\left( {a - 1} \right)^2} = {a^2} - 2a + 1 \geqslant 0 \Rightarrow 2a \geqslant {a^2} + 1$, cái này thì đâu cần đk gì

uk mình nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TenLaGi: 02-06-2017 - 09:14

[quanminhanh]

$√(n+1)-√n=(√(n+1)-√n).(√(n+1)+√n)/(√(n+1... =1/(√(n+1)+√n) ->2(√(n+1)-√n)=2/(√[n+1)+√n] < 2/(√n+√n)=1/√n (1) 2[√n-√(n-1)]=2/[√n+√(n-1)]>2/(√n+√n)=1... (2) Từ (1) và (2) ->2(√(n+1)-√n)< 1/√n<2[√n-√(n-1)]$

[tuaneee111]

$√(n+1)-√n=(√(n+1)-√n).(√(n+1)+√n)/(√(n+1... =1/(√(n+1)+√n) ->2(√(n+1)-√n)=2/(√[n+1)+√n] < 2/(√n+√n)=1/√n (1) 2[√n-√(n-1)]=2/[√n+√(n-1)]>2/(√n+√n)=1... (2) Từ (1) và (2) ->2(√(n+1)-√n)< 1/√n<2[√n-√(n-1)]$

????