cho a,b,c>0 , a+b+c=3. Cmr :$\frac{a^2}{a+ 2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\geq 1$
Cmr :$\frac{a^2}{a+ 2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\geq 1$
#2
Đã gửi 01-06-2017 - 21:55
Theo $ Cauchy - Schwarz$ ta có: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}}} \geqslant \frac{{{{\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{cyc} {{a^3}} + 2\sum\limits_{cyc} {{a^2}{b^2}} }}$$Đến đây cần chứng minh bất đẳng thức sau đúng:$${\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)^2} \geqslant \sum\limits_{cyc} {{a^3}} + 2\sum\limits_{cyc} {{a^2}{b^2}} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {{a^4}} \geqslant \sum\limits_{cyc} {{a^3}} $$Mặt khác sử dụng giả thiết ta có:$$\sum\limits_{cyc} {{a^4}} - \sum\limits_{cyc} {{a^3}} = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - 1} \right)}^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)} \geqslant 0$$Vậy có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 01-06-2017 - 21:57
- NHoang1608, duylax2412 và Drago thích
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
#3
Đã gửi 01-06-2017 - 22:12
Bài này dùng KT Cô-si ngược dấu quy về chứng minh $\sum \sqrt[3]{(ab)^2} \leq 3$.
Có: $ \sqrt[3]{(ab)^2}\leq\frac{2ab+1}{3} .$ ($AM-GM$).Tương tự,cộng vế có:
$ \sum \sqrt[3]{(ab)^2}\leq \frac{2ab+2bc+2ca+3}{3} \leq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 01-06-2017 - 22:23
- tuaneee111, Drago và nguyenthaibaolax1011 thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
#4
Đã gửi 01-06-2017 - 22:30
cho a,b,c>0 , a+b+c=3. Cmr :$\frac{a^2}{a+ 2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\geq 1$
Ta có BĐT: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum (a-\frac{2ab^2}{a+2b^2})\geq \sum (a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}})=\sum (a-\frac{2\sqrt[3]{a^2b^2}}{3})$
Cần chứng minh : $\sum \sqrt[3]{a^2b^2}\leq 3$
Theo AM-GM: $\sum \sqrt[3]{a^2b^2}\leq \sum \frac{a+ab+b}{3}=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 01-06-2017 - 22:35
- NHoang1608, duylax2412 và Drago thích
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
#5
Đã gửi 02-06-2017 - 07:55
.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 02-06-2017 - 14:52
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#6
Đã gửi 02-06-2017 - 08:27
Ta có thể làm như sau:
$P=\sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum \frac{2a^2}{2a+4b^2}\geq \sum \frac{2a^2}{a^2+1+4b^2}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{5(a^2+b^2+c^2)+3}$
Lưu ý rằng: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$.
Từ đó suy ra: $P\geq \frac{2(a+b+c)^2}{5(a^2+b^2+c^2)+3}=\frac{18}{5(a^2+b^2+c^2+6)-27}\geq \frac{18}{5[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]-27}=1$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.
a,b,c không đồng thời nhỏ hơn 1 đâu anh. Đoạn này không ổn!!
~~~Chữ tâm kia mới bằng ba chữ tài~~~
#7
Đã gửi 02-06-2017 - 08:36
a,b,c không đồng thời nhỏ hơn 1 đâu anh. Đoạn này không ổn!!
Mình nghĩ đó là đánh giá đúng mà vì ${\left( {a - 1} \right)^2} = {a^2} - 2a + 1 \geqslant 0 \Rightarrow 2a \geqslant {a^2} + 1$, cái này thì đâu cần đk gì
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
#8
Đã gửi 02-06-2017 - 09:11
Mình nghĩ đó là đánh giá đúng mà vì ${\left( {a - 1} \right)^2} = {a^2} - 2a + 1 \geqslant 0 \Rightarrow 2a \geqslant {a^2} + 1$, cái này thì đâu cần đk gì
uk mình nhầm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TenLaGi: 02-06-2017 - 09:14
~~~Chữ tâm kia mới bằng ba chữ tài~~~
#9
Đã gửi 02-06-2017 - 10:11
$√(n+1)-√n=(√(n+1)-√n).(√(n+1)+√n)/(√(n+1... =1/(√(n+1)+√n) ->2(√(n+1)-√n)=2/(√[n+1)+√n] < 2/(√n+√n)=1/√n (1) 2[√n-√(n-1)]=2/[√n+√(n-1)]>2/(√n+√n)=1... (2) Từ (1) và (2) ->2(√(n+1)-√n)< 1/√n<2[√n-√(n-1)]$
#10
Đã gửi 02-06-2017 - 10:17
$√(n+1)-√n=(√(n+1)-√n).(√(n+1)+√n)/(√(n+1... =1/(√(n+1)+√n) ->2(√(n+1)-√n)=2/(√[n+1)+√n] < 2/(√n+√n)=1/√n (1) 2[√n-√(n-1)]=2/[√n+√(n-1)]>2/(√n+√n)=1... (2) Từ (1) và (2) ->2(√(n+1)-√n)< 1/√n<2[√n-√(n-1)]$
????
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh