Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 6/2017: Chứng minh rằng $XB=XC$.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 03-06-2017 - 06:23

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 5 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới. Xin được trích dẫn lại hai bài toán mới:

 

Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $M,N$ là đối xứng của $D$ qua $CA,AB$. $Q,R$ là trung điểm $HC,HB$. $K,L$ là tâm ngoại tiếp tam giác $FNR$ và $EMQ$. $EK$ cắt $FL$ tại $P$. Đường thẳng qua tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ song song với $DP$ cắt $CA,AB$ tại $U,V$. $O,H$ cắt $AB,AC$ tại $S,T$. $SU$ cắt $TV$ tại $X$. Chứng minh rằng $XB=XC$.

 

Screen Shot 2017-06-03 at 9.19.03 AM.png

 

Bài 2. (Trần Quang Hùng, Ngô Quang Dương) Cho tam giác $ABC$ có $P,Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. Đường nối tâm các đường tròn $(PAB),(QAC)$ và $(PAC),(QAB)$ cắt nhau tại $D$. $X$ là tâm đường tròn đi qua tâm các đường tròn $(PAB),(QAC),(PAC),(QAB)$. Tương tự có $E,Y,F,Z$. Chứng minh rằng các đường thẳng $DX,EY,FZ$ đồng quy trên đường thẳng song song với $PQ$ đi qua tâm đường tròn $(ABC)$.

 

Screen Shot 2017-06-03 at 9.21.51 AM.png


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 xuantrandong

xuantrandong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Physics class QH Huế
  • Sở thích:Hình học,hẹn hò :)))

Đã gửi 03-06-2017 - 10:18

Mình xin giải bài 2:

Bổ đề: Cho $\Delta ABC$ tâm ngoại tiếp $O$ và 2 điểm $P,Q$ đẳng giác. $H, I, K$ là tâm ngoại tiếp của các tam giác $PBC, PCA,PAB$. $D, E, F$ là tâm ngoại tiếp các tam giác $QBC, QCA, QAB$. Gọi $(O_{1}),(O_{2})$ là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $HIK, DEF$. Khi đó  $O, O_{1}, O_{2}$ thẳng hàng và đường thẳng $O_{1}O_{2}$ song song với $PQ$.

Chứng minh bổ đề: Dễ chứng minh các tứ giác $KFIE, EIHD, DHFK$ là các tứ giác nội tiếp và $O$ là tâm đẳng phương của các đường tròn  $(KFIE), (EIHD), (DHFK)$. Xét phép nghịch đảo phương tích $OH.OD=OI.OE=OF.OK$ biến đường tròn $(HIK)$ thành đường tròn $(DEF)$ nên $O, O_{1}, O_{2}$ thẳng hàng. $KI, EF$ giao nhau tại $X$, $DF, HK$ giao nhau tại $Y$. Thì $XK.XI=XE.XF$ và $YD.YF=YH.YK$ nên đường thẳng $XY$ là trục đẳng phương của  $(O_{1}),(O_{2})$ nên $XY$ vuông góc $O_{1}O_{2}$. Hơn nữa do $X, Y$ là tâm ngoại tiếp của các tam giác $APQ, BPQ$ nên $X, Y$ thuộc trung trực của đoạn thẳng $PQ$ nên $XY$ vuông góc $PQ$ do đó $XY$ song song với đường thẳng qua  $O, O_{1}, O_{2}$.

Trở lại bài toán:

Gọi $I, J, K, G, H, L$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PBC, PCA, PAB, QBC, QCA, QAB$. Gọi $U, V$ là tâm ngoại tiếp các tam giác $IJK, GHL$. Theo bổ đề ta cần chứng minh $DX, EY, FZ, UV$ đồng quy. $UV, AD$ giao nhau tại $R$; $KJ, HL$ giao nhau tại $M$. Ta có:

$(ROUV)=X(R,O,U,V)=M(O,R,J,L)=-1$ ( áp dụng định lý $Brocard$ và chùm trực giao ). 

Do đó nếu $EY, FZ$ giao $UV$ tại $R', R''$ thì ta có $(ROUV)=(R'OUV)=(R''OUV)=-1$ nên $R, R', R''$ trùng nhau. 

Ta có điều phải chứng minh

Hình gửi kèm

  • 1.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuantrandong: 03-06-2017 - 12:55


#3 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 03-06-2017 - 17:10

Bài 1.

Bổ đề 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, phân giác $BB', CC'$ cắt $(O)$ tại $M, N$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy $E$ thỏa mãn $BE=BA$, trên tia đối của tia $CB$ lấy $F$ thỏa mãn $CF=CA$. Gọi $K, L$ là tâm của $(ENB)$ và $(FMC)$. $P$ là giao điểm của $BL$ và $CK$. Khi đó $AP \perp B'C'$

Chứng minh bổ đề.

Ta nhìn thấy $\Delta ANB \sim \Delta ACF$ và $\Delta AMC \sim \Delta ABE$. Từ đó $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AB}{AF}$  và $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AE}$

Do đó ta có $\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AE}{AF}$ nên $\Delta ANE\sim \Delta AMF$, từ đó chứng minh được $KB$ và $LC$ cắt nhau tại một điểm $Q$ thuộc $(O)$

Dùng phép nghịch đảo đối xứng ta suy ra $AK, AL$ đẳng giác góc $A$, tam giác $ABC$. Từ đó suy ra $AP, AQ$ đẳng giác.
Chọn $P'$ trên $CN$ thỏa mãn $BP' || EN$ thì $\dfrac{NP'}{P'C}=\dfrac{AB'}{B'C}$. Mà $\Delta CC'A \sim \Delta CBN$ nên $\widehat{AC'B'}=\widehat{NBP'}=\widehat{ENB}=90^o-\widehat{KBE}=90^o-\widehat{QAC}=90^o-\widehat{PAB}$
Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2. Cho tam giác $ABC$, dường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$. $HB$ cắt $DF$ tại $B'$ và $HC$ cắt $DE$ tại $C'$. Gọi $O'$ đối xứng với $O$ qua $BC$. Khi đó $AO'\perp B'C'$
Chứng minh bổ đề.
Sử dụng phương tích điểm $H$ cho hai đường tròn $(DEF)$ và $(HBC)$ cho ta điều phải chứng minh.
Trở lại bài toán ban đầu.
Gọi $B', C'$ lần lược là giao của $HB$ với $DF$, $HC$ với $DE$
Trung trực $BC$ cắt $AB, AC$ tại $Y, Z$. Gọi $O'$ đối xứng với $O$ qua $BC$ và $O''$ đối xứng với $O'$ qua $O$
Khi đó ta có $AO''OH$ là hình bình hành nên $AO'' || OH$
Áp dụng bổ đề $1$ cho tam giác $DEF$ ta được $DP \perp B'C'$
Áp dụng bổ đề $2$ ta suy ra $DP || AO'$
Từ đó ta có $(SV, YA)=O(SV, YA)=A(O''O', DO)=-1$, tương tự ta có $(UT, ZA)=-1$
Do đó $(SV, YA)=(UT, ZA)$ nên $SU, VT, YZ$ đồng quy tại $X$ nên $XB=XC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 03-06-2017 - 17:11

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh