Chủ đề này có 4 trả lời

[E. Galois]

Tính đạo hàm Fréchet của:

$$f(x)=||Ax-b||^2$$

Trong đó $A$ là ma trận thực vuông cấp $n \times n$, $x,b \in \mathbb{R}^n$, chuẩn đang xét là chuẩn Euclid trong $\mathbb{R}^n$

[An Infinitesimal]

Tính đạo hàm Fréchet của:

$$f(x)=||Ax-b||^2$$

Trong đó $A$ là ma trận thực vuông cấp $n \times n$, $x,b \in \mathbb{R}^n$, chuẩn đang xét là chuẩn Euclid trong $\mathbb{R}^n$

Chuẩn ở đây là chuẩn Euclide nhỉ?

[E. Galois]

Chuẩn ở đây là chuẩn Euclide nhỉ?

Trong bài đã nhắc là chuẩn Euclid rồi đây bạn

[An Infinitesimal]

Trong bài đã nhắc là chuẩn Euclid rồi đây bạn

 

Sorry... quá nhanh và quá nguy hiểm.

 

Tính đạo hàm Fréchet của:

$$f(x)=||Ax-b||^2$$

Trong đó $A$ là ma trận thực vuông cấp $n \times n$, $x,b \in \mathbb{R}^n$, chuẩn đang xét là chuẩn Euclid trong $\mathbb{R}^n$

Gọi $e_i =(0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)\in \mathbb{R}^n$ là vector chỉ có thành phần thứ $i$ bằng $1$, tất cả thành phần còn lại bằng $0$.

Vì $||x+y||^2-||x||^2=2y^Tx+||y||^2$ nên 

\[\dfrac{f(x+t e_i)-f(x)}{t}=2 e_i^T(Ax-b)+t||Ae_i||^2\, \forall t\neq 0.\]

Do đó \[\frac{\partial f}{\partial x_i} (x)=2e_i^TA^T(Ax-b)+t||Ae_i||^2.\]

Các đạo hàm riêng này liên tục nên hàm f khả vi Fréchet và $f'(x)(h)= h^TA^T(Ax-b).$

 

...đang check lỗi...

 

 

$||Ax-b+tAe_i||^2-||Ax-b||^2=2e_i^TA^T(Ax-b)+t^2||Ae_i||^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 06-06-2017 - 13:01

[Mrnhan]

Em có biết một công thức liên quan đến tính đạo hàm của tích ma trận (product rules) 

$$\nabla \left( U^TV\right)=\nabla(U)V+\nabla(V)U$$

 

Bài toán ban đầu tương đương với 

$$f(x)=\left\|Ax-b\right\|^2=(Ax-b)^T(Ax-b)\Rightarrow f'(x)=2A^T(Ax-b)$$

 

Vì nếu $C= (c_1, c_2, \dots, c_n)^T$ và $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)^T$

 

$$\Rightarrow g(x)=C^Tx=c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n$$

$$\Rightarrow \nabla (g(x))=\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}=C$$

Vậy $$\nabla(Ax-b)=A^T$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 06-06-2017 - 13:48