cho số phức z khác 0 sao cho z không phải là số thực và $w=\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực. Tính $\dfrac{|z|}{1+|z|^2}$
$w=\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực. Tính $\dfrac{|z|}{1+|z|^2}$
#1
Đã gửi 04-06-2017 - 09:37
#2
Đã gửi 04-06-2017 - 09:43
Đặt $z=a+bi,b\neq 0$.
Do $w=\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực nên bằng cách thế $z$ đã đặt vào ta được:
$\frac{a}{a^2-b^2+1}=\frac{b}{2ab}\Rightarrow a^2+b^2=1$
Từ đó suy ra: $\dfrac{|z|}{1+|z|^2}=\frac{1}{2}$.
- zzhanamjchjzz yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#3
Đã gửi 08-06-2017 - 10:07
cho số phức z khác 0 sao cho z không phải là số thực và $w=\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực. Tính $\dfrac{|z|}{1+|z|^2}$
Bài này có rất nhiều cách để suy ra $\left | z \right |$
Cách 1: Cách đặt $z=a+bi$ như bạn trên.
Cách 2: Ta có: $wz^{2}-z+w=0$. Gọi $z_{1}; z_{2}$ là nghiệm của phương trình. Khi đó: $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=\sqrt{z_{1}z_{2}}=1$
Cách 3: Do: $\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực nên $\dfrac{1+z^2}{z}$ cũng là số thực. Do đó: $z+\frac{1}{z}\in \mathbb{R}\Rightarrow z+\frac{1}{z}=\bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}\Rightarrow z-\bar{z}=\frac{z-\bar{z}}{|z|^2}\Rightarrow |z|=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoai6cthcstqp: 08-06-2017 - 10:07
- zzhanamjchjzz yêu thích
Cá mỏ nhọn <3
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh