Đến nội dung

Hình ảnh

$w=\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực. Tính $\dfrac{|z|}{1+|z|^2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
zzhanamjchjzz

zzhanamjchjzz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

cho số phức z khác 0 sao cho z không phải là số thực và $w=\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực. Tính $\dfrac{|z|}{1+|z|^2}$



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Đặt $z=a+bi,b\neq 0$.

Do $w=\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực nên bằng cách thế $z$ đã đặt vào ta được: 

$\frac{a}{a^2-b^2+1}=\frac{b}{2ab}\Rightarrow a^2+b^2=1$

Từ đó suy ra: $\dfrac{|z|}{1+|z|^2}=\frac{1}{2}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
thoai6cthcstqp

thoai6cthcstqp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

cho số phức z khác 0 sao cho z không phải là số thực và $w=\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực. Tính $\dfrac{|z|}{1+|z|^2}$

Bài này có rất nhiều cách để suy ra $\left | z \right |$

Cách 1: Cách đặt $z=a+bi$ như bạn trên.

Cách 2: Ta có: $wz^{2}-z+w=0$. Gọi $z_{1}; z_{2}$ là nghiệm của phương trình. Khi đó: $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=\sqrt{z_{1}z_{2}}=1$

Cách 3: Do: $\dfrac{z}{1+z^2}$ là số thực nên $\dfrac{1+z^2}{z}$ cũng là số thực. Do đó: $z+\frac{1}{z}\in \mathbb{R}\Rightarrow z+\frac{1}{z}=\bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}\Rightarrow z-\bar{z}=\frac{z-\bar{z}}{|z|^2}\Rightarrow |z|=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoai6cthcstqp: 08-06-2017 - 10:07

Cá mỏ nhọn <3





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh