Chủ đề này có 2 trả lời

[gemyncanary]

Cho:$\sqrt{(a-3)^2+(b+4)^2}+\sqrt{(a-2)^2+(b+3)^2}=10$

Tìm min,max: $\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 04-06-2017 - 17:23

[gemyncanary]

Mọi người giải giúp mình bài bất đẳng thức đó với ạ

[chanhquocnghiem]

Cho:$\sqrt{(a-3)^2+(b+4)^2}+\sqrt{(a-2)^2+(b+3)^2}=10$

Tìm min,max: $\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có $2\left [ (a-3)^2+(b+4)^2+(a-2)^2+(b+3)^2 \right ]\geqslant 10^2=100$

Đặt $A=a-\frac{5}{2}$ ; $B=b+\frac{7}{2}\Rightarrow \left ( A-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( B+\frac{1}{2} \right )^2+\left ( A+\frac{1}{2} \right )^2+\left ( B-\frac{1}{2} \right )^2\geqslant 50$

$\Rightarrow 2\ A^2+2\ B^2\geqslant 49\Rightarrow \sqrt{A^2+B^2}\geqslant \frac{7\sqrt2}{2}$

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy điểm $P$ có tọa độ $\left ( A-\frac{1}{2};B+\frac{1}{2} \right )$ ; $Q$ có tọa độ $\left ( A+\frac{1}{2};B-\frac{1}{2} \right )$ và $M$ có tọa độ $(A;B)$

$OP+OQ=\sqrt{(a-3)^2+(b+4)^2}+\sqrt{(a-2)^2+(b+3)^2}=10$ (1)

$PQ=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ (2)

$\left\{\begin{matrix}OP+OQ=10\\|OP-OQ|\leqslant PQ=\sqrt{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow OP^2+OQ^2\leqslant 51$

$\Rightarrow \left ( A-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( B+\frac{1}{2} \right )^2+\left ( A+\frac{1}{2} \right )^2+\left ( B-\frac{1}{2} \right )^2\leqslant 51\Rightarrow \sqrt{A^2+B^2}\leqslant 5$

Đặt $C=A+\frac{3}{2}=a-1$ ; $D=B-\frac{5}{2}=b+1$

Lấy điểm $N$ có tọa độ $(C;D)$, ta có :

$OM=\sqrt{A^2+B^2}$ ; $ON=\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}$ ; $MN=\sqrt{\left ( \frac{3}{2} \right )^2+\left ( \frac{5}{2} \right )^2}=\frac{\sqrt{34}}{2}$

Từ $|OM-MN|\leqslant ON\leqslant OM+MN\Rightarrow \frac{7\sqrt{2}-\sqrt{34}}{2}\leqslant \sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}\leqslant \frac{10+\sqrt{34}}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-06-2017 - 16:58