Trong mp(P) cho đường tròn (O) đk AB.
Trong mp(P) cho đường tròn (O) đk AB.
Hang loose
Trong mp(P) cho đường tròn (O) đk AB.
Trên đường thẳng (d) vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA=AB.C đối xứng với B qua A. Đường thẳng $(\Delta )$ di động qua C và cắt (O) tại 2 điểm M, N.Gọi $\alpha $ và $\beta $ lần lượt là số đo của góc giữa 2 mp (SBM) và (SBN) với (P).C/m: $cos^2\alpha +cos^2\beta $ là 1 hằng số.
Dễ thấy: góc giữa $(SBM)$ và $(P)$ là $\angle SMA$; góc giữa $(SBN)$ và $(P)$ là $\angle SNA$
Ta có: $\cos ^2 a+\cos^2 b=\dfrac{1}{\dfrac{SA^2}{AM^2}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{SA^2}{SN^2}+1}$
Đặt $AN=x;AB=d \rightarrow BN^2=d^2-x^2$
Dễ dàng lập được các đẳng thức sau: $\dfrac{AN}{CM}=\dfrac{CN}{CB}; \ \dfrac{AM}{BN}=\dfrac{CA}{CM}$
$\rightarrow \dfrac{AN}{CM}=\dfrac{CA.BN}{AM.CB}=\dfrac{BN}{2AM}$
$\rightarrow 2AM.AN=BN.BM$
$\rightarrow 4AM^2.AN^2=BN^2.BM^2$
$\rightarrow 4. AM^2.x^2=(d^2-x^2).(d^2-AM^2)$
$\rightarrow AM^2=\dfrac{d^2(d^2-x^2)}{3x^2+d^2}$
Thay vào ta có:
$\cos^2 a+\cos^2 b=\dfrac{1}{\dfrac{3x^2+d^2}{d^2-x^2}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{d^2}{x^2}+1}=...=\dfrac{1}{2}$
Vậy $\cos^2 a+\cos^2 b=\dfrac{1}{2}$ (const)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 05-06-2017 - 16:30
Don't care
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh