Đến nội dung

Hình ảnh

C/m: $cos^2\alpha +cos^2\beta $ là 1 hằng số.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thuylinhnguyenthptthanhha

thuylinhnguyenthptthanhha

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết

Trong mp(P) cho đường tròn (O) đk AB. 


Trên đường thẳng (d) vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA=AB.
 
C đối xứng với B qua A. Đường thẳng $(\Delta )$ di động qua C và cắt (O) tại 2 điểm M, N.
 
Gọi $\alpha $ và $\beta $ lần lượt là số đo của góc giữa 2 mp (SBM) và (SBN) với (P).
 
C/m: $cos^2\alpha +cos^2\beta $ là 1 hằng số.
 

 


                          Hang loose  :ukliam2: 


#2
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

 

Trong mp(P) cho đường tròn (O) đk AB. 


Trên đường thẳng (d) vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA=AB.
 
C đối xứng với B qua A. Đường thẳng $(\Delta )$ di động qua C và cắt (O) tại 2 điểm M, N.
 
Gọi $\alpha $ và $\beta $ lần lượt là số đo của góc giữa 2 mp (SBM) và (SBN) với (P).
 
C/m: $cos^2\alpha +cos^2\beta $ là 1 hằng số.

 

Dễ thấy: góc giữa $(SBM)$ và $(P)$ là $\angle SMA$; góc giữa $(SBN)$ và $(P)$ là $\angle SNA$

 

Ta có: $\cos ^2 a+\cos^2 b=\dfrac{1}{\dfrac{SA^2}{AM^2}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{SA^2}{SN^2}+1}$

Đặt $AN=x;AB=d \rightarrow BN^2=d^2-x^2$

 

Dễ dàng lập được các đẳng thức sau: $\dfrac{AN}{CM}=\dfrac{CN}{CB}; \ \dfrac{AM}{BN}=\dfrac{CA}{CM}$

$\rightarrow \dfrac{AN}{CM}=\dfrac{CA.BN}{AM.CB}=\dfrac{BN}{2AM}$

$\rightarrow 2AM.AN=BN.BM$

$\rightarrow 4AM^2.AN^2=BN^2.BM^2$

$\rightarrow 4. AM^2.x^2=(d^2-x^2).(d^2-AM^2)$

$\rightarrow AM^2=\dfrac{d^2(d^2-x^2)}{3x^2+d^2}$

Thay vào ta có:

$\cos^2 a+\cos^2 b=\dfrac{1}{\dfrac{3x^2+d^2}{d^2-x^2}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{d^2}{x^2}+1}=...=\dfrac{1}{2}$

 

Vậy $\cos^2 a+\cos^2 b=\dfrac{1}{2}$ (const)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 05-06-2017 - 16:30

Don't care





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh