Xét số phức $z$ thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| {z} \right|$
#1
Đã gửi 05-06-2017 - 17:41
#2
Đã gửi 06-06-2017 - 20:12
Xét số phức $z$ thỏa mãn
$4\left| {z + i} \right| + 3\left| {z - i} \right| = 10$Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| {z} \right|$
Đặt $z=a+bi$ ($a,b\in\mathbb{R}$)
Gọi $P,Q$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z+i$ và $z-i$ ($|OP-OQ|\leqslant PQ=2$)
Ta có : $10=4\ OP+3\ OQ\leqslant \sqrt{(4^2+3^2)(OP^2+OQ^2)}=5\sqrt{OP^2+OQ^2}$
$\Rightarrow OP^2+OQ^2\geqslant 4\Rightarrow a^2+(b+1)^2+a^2+(b-1)^2\geqslant 4$
$\Rightarrow a^2+b^2\geqslant 1\Rightarrow |z|=\sqrt{a^2+b^2}\geqslant 1$
Mặt khác :
$\left\{\begin{matrix}4\ OP+3\ OQ=10\\|OP-OQ|\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow OP^2+OQ^2\leqslant \left ( \frac{4}{7} \right )^2+\left ( \frac{18}{7} \right )^2=\frac{340}{49}$
$\Rightarrow a^2+(b+1)^2+a^2+(b-1)^2\leqslant \frac{340}{49}\Rightarrow a^2+b^2\leqslant \frac{121}{49}$
$\Rightarrow |z|=\sqrt{a^2+b^2}\leqslant \frac{11}{7}$
Vậy $1\leqslant |z|\leqslant \frac{11}{7}$.
- mathlove2015 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 07-06-2017 - 11:46
Mặt khác :
$\left\{\begin{matrix}4\ OP+3\ OQ=10\\|OP-OQ|\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow OP^2+OQ^2\leqslant \left ( \frac{4}{7} \right )^2+\left ( \frac{18}{7} \right )^2=\frac{340}{49}$
Anh giải thích rõ hơn giúp e dòng này dc k ạ? Cảm ơn
#4
Đã gửi 07-06-2017 - 13:20
Anh giải thích rõ hơn giúp e dòng này dc k ạ? Cảm ơn
Thay $OP=OQ+2$ vào phương trình thứ nhất $\Rightarrow OP=\frac{16}{7}$ ; $OQ=\frac{2}{7}\Rightarrow OP^2+OQ^2=\frac{260}{49}$
Lại thay $OQ=OP+2$ vào phương trình thứ nhất $\Rightarrow OP=\frac{4}{7}$ ; $OQ=\frac{18}{7}\Rightarrow OP^2+OQ^2=\frac{340}{49}$
Vậy ta có $OP^2+OQ^2\leqslant \frac{340}{49}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-06-2017 - 13:21
- mathlove2015 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#5
Đã gửi 08-06-2017 - 22:16
Thay $|z-i|$ từ điều kiện, khảo sát hàm số là được.
Cá mỏ nhọn <3
#6
Đã gửi 09-06-2017 - 20:00
Ta có: $||z-i|-|z+i||\geq 2$. Nên $|z+i|-2\leq |z-i|\leq |z+i|+2$
Do đó $\frac{16}{7}\geq |z+i|\geq \frac{4}{7}$
Mặt khác $|z-i|^2+|z+i|^2=2|z|^2+2$. Đặt $|z+i|=x$. Khi đó: $|z|=\sqrt{\frac{9x^2+(10-4x)^2-18}{18}}$. Xét hàm số với điều kiện $\frac{16}{7}\geq x \geq \frac{4}{7}$, ta được:
$min|z|=1$, $max|z|=\frac{11}{7}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoai6cthcstqp: 15-06-2017 - 08:50
Cá mỏ nhọn <3
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh