Chủ đề này có 5 trả lời

[mathlove2015]

Xét số phức $z$ thỏa mãn 

$4\left| {z + i} \right| + 3\left| {z - i} \right| = 10$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| {z} \right|$

 

 

[chanhquocnghiem]

 

Xét số phức $z$ thỏa mãn 

$4\left| {z + i} \right| + 3\left| {z - i} \right| = 10$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| {z} \right|$

 

Đặt $z=a+bi$ ($a,b\in\mathbb{R}$)

Gọi $P,Q$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z+i$ và $z-i$ ($|OP-OQ|\leqslant PQ=2$)

Ta có : $10=4\ OP+3\ OQ\leqslant \sqrt{(4^2+3^2)(OP^2+OQ^2)}=5\sqrt{OP^2+OQ^2}$

$\Rightarrow OP^2+OQ^2\geqslant 4\Rightarrow a^2+(b+1)^2+a^2+(b-1)^2\geqslant 4$

$\Rightarrow a^2+b^2\geqslant 1\Rightarrow |z|=\sqrt{a^2+b^2}\geqslant 1$

Mặt khác :

$\left\{\begin{matrix}4\ OP+3\ OQ=10\\|OP-OQ|\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow OP^2+OQ^2\leqslant \left ( \frac{4}{7} \right )^2+\left ( \frac{18}{7} \right )^2=\frac{340}{49}$

$\Rightarrow a^2+(b+1)^2+a^2+(b-1)^2\leqslant \frac{340}{49}\Rightarrow a^2+b^2\leqslant \frac{121}{49}$

$\Rightarrow |z|=\sqrt{a^2+b^2}\leqslant \frac{11}{7}$

Vậy $1\leqslant |z|\leqslant \frac{11}{7}$.

[mathlove2015]

 

Mặt khác :

$\left\{\begin{matrix}4\ OP+3\ OQ=10\\|OP-OQ|\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow OP^2+OQ^2\leqslant \left ( \frac{4}{7} \right )^2+\left ( \frac{18}{7} \right )^2=\frac{340}{49}$

 

Anh giải thích rõ hơn giúp e dòng này dc k ạ? Cảm ơn

[chanhquocnghiem]

Anh giải thích rõ hơn giúp e dòng này dc k ạ? Cảm ơn

Thay $OP=OQ+2$ vào phương trình thứ nhất $\Rightarrow OP=\frac{16}{7}$ ; $OQ=\frac{2}{7}\Rightarrow OP^2+OQ^2=\frac{260}{49}$

Lại thay $OQ=OP+2$ vào phương trình thứ nhất $\Rightarrow OP=\frac{4}{7}$ ; $OQ=\frac{18}{7}\Rightarrow OP^2+OQ^2=\frac{340}{49}$

Vậy ta có $OP^2+OQ^2\leqslant \frac{340}{49}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-06-2017 - 13:21

[thoai6cthcstqp]

Ta có $2|z|^2+2=|z-i|^2+|z+i|^2$
Thay $|z-i|$ từ điều kiện, khảo sát hàm số là được.

[thoai6cthcstqp]

Ta có: $||z-i|-|z+i||\geq 2$. Nên $|z+i|-2\leq |z-i|\leq |z+i|+2$
Do đó $\frac{16}{7}\geq |z+i|\geq \frac{4}{7}$
Mặt khác $|z-i|^2+|z+i|^2=2|z|^2+2$. Đặt $|z+i|=x$. Khi đó: $|z|=\sqrt{\frac{9x^2+(10-4x)^2-18}{18}}$. Xét hàm số với điều kiện $\frac{16}{7}\geq x \geq \frac{4}{7}$, ta được:
$min|z|=1$, $max|z|=\frac{11}{7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoai6cthcstqp: 15-06-2017 - 08:50