Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [0;1]. Biết f(1)=1, $ \int_{0}^{1}f(x)dx=2 $. Tính $ \int_{0}^{1}f'(\sqrt{x})dx $
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [0;1]. Biết f(1)=1, $ \int_{0}^{1}f(x)dx=2 $. Tính $ \int_{0}^{1}f'(\sqrt{x})dx $
Bắt đầu bởi supernatural1, 06-06-2017 - 14:16
lớp 12
#1
Đã gửi 06-06-2017 - 14:16
#2
Đã gửi 07-06-2017 - 23:33
\[I=\int \limits_0^1 f'\left(\sqrt{x}\right) \mathrm{d} x\]
Đặt $\sqrt{x}=t\implies x=t^2$. Khi đó ta có $\mathrm{d}x=2t \ \mathrm{d} t$.
Suy ra
\[I=2\int\limits_0^1 t f'\left( t \right) \mathrm{d} t = 2\int \limits_0^1 t \mathrm{d} f\left(t\right) = 2\left({tf(t)\Big|}^1_0 - \int \limits_0^1 f\left(t\right) \mathrm{d} t \right)= 2f(1) - 2\int \limits_0^1 f\left(t\right) \mathrm{d} t =-2\]
- ngghongvan yêu thích
$$\text{Vuong Lam Huy}$$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 12
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh