Chủ đề này có 1 trả lời

[anhtuan962002]

Từ một điểm A nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Một dây EF bất kì đi qua H. Chứng mình rằng: AO là tia phân giác góc FAE

[huykinhcan99]

*** Cannot compile formula:
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.7869748050910379cm,y=0.7869748050910379cm]\clip(-1.8003793640713386,-7.021627951545112) rectangle (15.989262577998797,3.0221073949152943);\draw[color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (4.927114053403755,-1.5550971332863754) -- (4.53401943350477,-1.5531863049323589) -- (4.532108605150753,-1.9462809248313437) -- (4.925203225049738,-1.9481917531853603) -- cycle; \draw[color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (4.791882506549416,1.7334517419317903) -- (5.153994308383435,1.5804743761842865) -- (5.3069716741309385,1.9425861780183062) -- (4.944859872296919,2.09556354376581) -- cycle; \draw[color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (5.26912847444438,-5.8424972729775835) -- (5.119678697285433,-5.478915376335758) -- (4.756096800643608,-5.628365153494705) -- (4.905546577802554,-5.99194705013653) -- cycle; \draw(3.24,-1.94) circle (3.4476611112874664cm);\draw (7.174490041404603,-0.013316732301869916)-- (14.628458392472076,-1.9953591631716239);\draw (7.174490041404603,-0.013316732301869916)-- (4.944859872296919,2.09556354376581);\draw (4.944859872296919,2.09556354376581)-- (14.628458392472076,-1.9953591631716239);\draw (4.944859872296919,2.09556354376581)-- (4.905546577802554,-5.99194705013653);\draw (0.7469714567827408,-5.542378239808247)-- (7.174490041404603,-0.013316732301869916);\draw (0.7469714567827408,-5.542378239808247)-- (4.905546577802554,-5.99194705013653);\draw (4.905546577802554,-5.99194705013653)-- (14.628458392472076,-1.9953591631716239);\draw (14.628458392472076,-1.9953591631716239)-- (0.7469714567827408,-5.542378239808247);\draw (3.24,-1.94)-- (14.628458392472076,-1.9953591631716239);\draw (4.944859872296919,2.09556354376581)-- (3.24,-1.94);\draw (3.24,-1.94)-- (4.905546577802554,-5.99194705013653);\draw (3.24,-1.94)-- (0.7469714567827408,-5.542378239808247);\draw (3.24,-1.94)-- (7.174490041404603,-0.013316732301869916);\begin{scriptsize}\draw [fill=qqqqff] (3.24,-1.94) circle (1.5pt);\draw[color=qqqqff] (2.8323398916760927,-1.9719639627804237) node {$O$};\draw [fill=qqqqff] (4.944859872296919,2.09556354376581) circle (1.5pt);\draw[color=qqqqff] (4.907798118250942,2.549570030829057) node {$B$};\draw [fill=qqqqff] (14.628458392472076,-1.9953591631716239) circle (1.5pt);\draw[color=qqqqff] (15.09978048089529,-2.21987729934362) node {$A$};\draw [fill=qqqqff] (4.905546577802554,-5.99194705013653) circle (1.5pt);\draw[color=qqqqff] (4.852205487181973,-6.471127432114029) node {$C$};\draw [fill=qqqqff] (4.925203225049738,-1.9481917531853603) circle (1.5pt);\draw[color=qqqqff] (5.29310688848084,-2.227556593849393) node {$H$};\draw [fill=qqqqff] (7.174490041404603,-0.013316732301869916) circle (1.5pt);\draw[color=qqqqff] (7.335343008262596,0.30733391104730656) node {$E$};\draw [fill=qqqqff] (0.7469714567827408,-5.542378239808247) circle (1.5pt);\draw[color=qqqqff] (0.5345111408253669,-5.90522628754703184) node {$F$};\end{scriptsize}\end{tikzpicture}

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

 
Trong đường tròn $(O)$, ta có $\widehat{EFC}=\widehat{CBE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $CE$)
 
Xét $\triangle HCF$ và $\triangle HBE$ ta có
\[\left.\begin{array}{l} \widehat{HFC}=\widehat{HBE} \quad \text{(cmt)} \\ \widehat{CHF}=\widehat{EHB} \quad \text{(đối đỉnh)}\end{array} \right \} \implies \triangle HCF \backsim \triangle HEB \quad \text{(g.g)}\]
 
Từ đó ta có
\begin{equation} \label{eq:1} \dfrac{HC}{HE}= \dfrac{HF}{HB}\implies HB.HC = HE.HF \end{equation}
 
Mặt khác, xét tam giác $OAB$ vuông tại $B$, đường cao $BH$ ta có
\[HB^2=HO.HA\]
 
Tương tự, với tam giác $OAC$ ta cũng có $HC^2=HO.HA$.
 
Từ đó ta suy ra
\begin{equation} \label{eq:2} HB^2.HC^2=\left(HO.HA\right)^2 \implies HB.HC=HO.HA \end{equation}
 
Từ \eqref{eq:1} và \eqref{eq:2} ta suy ra $HE.HF = HO.HA$, hay là $\dfrac{HE}{HO}=\dfrac{HA}{HF}$. Lại chú ý rằng $\widehat{EHA}=\widehat{OHF}$ (đối đỉnh), ta suy ra $\triangle EHA \backsim \triangle OHF \ \text{(c.g.c)}$. Từ đó ta có $\widehat{EAH}=\widehat{OFH}$.
 
Hoàn toàn tương tự, với chú ý rằng $\widehat{OHE}=\widehat{FHA}$, ta có $\triangle OHE \backsim \triangle FHA$, từ đó suy ra $\widehat{OEH}=\widehat{HAF}$.
 
Cuối cùng, ta thấy $\triangle OEF$ cân tại $O$, do đó $\widehat{OFH}=\widehat{OEH}$.
 
Vậy ta có quyền kết luận $\widehat{EAH}=\widehat{OFH}=\widehat{OEH}=\widehat{HAF}$, hay là $AO$ là tia phân giác của $\widehat{FAE}$. Chứng minh hoàn tất.