Chủ đề này có 7 trả lời

[Tea Coffee]

1) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=27$.Cmr:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 8$

2) Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$. Tìm GTNN của P=$\frac{x}{\sqrt{1-x}} +\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

3) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=3.$ Tìm GTLN của P=$x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 07-06-2017 - 08:21

[tuaneee111]

Câu 1:

Theo $Holder$ ta có: $$\left( {1 + 1 + 1} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \geqslant {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^3}$$$$ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \geqslant \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{3}}  = 81 \Rightarrow Q.E.D$$P/s: Hình như đề bài phải là chứng minh ${a^2} + {b^3} + {c^3} \geqslant 81$

[tuaneee111]

Câu 2:

Biến đổi giả thiết và sử dụng $AM-GM$ ta có: $$P = \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - y} }} = \frac{x}{{\sqrt y }} + \frac{y}{{\sqrt x }} = \frac{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)}}{{\sqrt {xy} }}$$$$ \geqslant \frac{{2\root 4 \of {xy} \left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)}}{{\sqrt {xy} }} = \frac{{2\left( {x + y - \sqrt {xy} } \right)}}{{\root 4 \of {xy} }} \geqslant \frac{{2\left( {x + y - \frac{{x + y}}{2}} \right)}}{{\sqrt {\frac{{x + y}}{2}} }} = \sqrt 2 $$Vậy $\min P = \sqrt 2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 07-06-2017 - 08:24

[tuaneee111]

Ta có: $$\sum\limits_{cyc} {{x^2}.\underbrace {1.1...1.1}_{1007\,\,Numbers}} \mathop  \leqslant \limits^{AM - GM} \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^{2016}} + 1007}}{{1008}}}  = \frac{{3 + 3.1007}}{{1008}} = 3$$Vậy $\max P = 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 07-06-2017 - 08:34

[Hoang Dinh Nhat]

1) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=27$.Cmr:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 8$

2) Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$. Tìm GTNN của P=$\frac{x}{\sqrt{1-x}} +\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

3) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=3.$ Tìm GTLN của P=$x^{2}+y^{2}+z^{2}$

 

Bài 2: Ta có thể giải như sau

Áp dụng BĐT $AM-GM$, ta có: $x+(1-x)\geq 2\sqrt{x}.\sqrt{1-x};y+(1-y)\geq 2\sqrt{y}.\sqrt{1-y}$

$\Rightarrow \sqrt{1-x}\leq \frac{1}{2\sqrt{x}};\sqrt{1-y}\leq \frac{1}{2\sqrt{y}}$

$P\geq 2x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}$$\Rightarrow P^2\geq 4(\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3})^2$

Có BĐT phụ: $2(a^3+b^3)^2\geq (a^2+b^2)^3$

$\Rightarrow P^2\geq 2(x+y)^3=2\Rightarrow P\geq \sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 07-06-2017 - 08:49

[trambau]

Câu 1:

Theo $Holder$ ta có: $$\left( {1 + 1 + 1} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \geqslant {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^3}$$$$ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \geqslant \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{3}}  = 81 \Rightarrow Q.E.D$$P/s: Hình như đề bài phải là chứng minh ${a^2} + {b^3} + {c^3} \geqslant 81$

Theo như mình được biết thì THCS không được phép dùng BĐT $Holder$ vì thế bạn có thể giải theo hướng dùng $Cauchy-schwarz$ vẫn hơn

[Tea Coffee]

Câu 1:

Theo $Holder$ ta có: $$\left( {1 + 1 + 1} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \geqslant {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^3}$$$$ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \geqslant \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{3}}  = 81 \Rightarrow Q.E.D$$P/s: Hình như đề bài phải là chứng minh ${a^2} + {b^3} + {c^3} \geqslant 81$

Anh dùng theo Cauchy-Schwars đi như chị trên nói ấy, vì BĐT thực ra e vẫn mù

[tuaneee111]

Anh dùng theo Cauchy-Schwars đi như chị trên nói ấy, vì BĐT thực ra e vẫn mù

Theo $Cauchy - Schwarz$ ta có: $$a + b + c \leqslant \sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} $$$$\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {a + b + c} \right) = \left( {{{\left( {\sqrt {{a^3}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {{b^3}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {{c^3}} } \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right) \geqslant {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2}$$$$ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \geqslant \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{a + b + c}} \geqslant \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }} = 81$$    

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 07-06-2017 - 14:26