Chủ đề này có 2 trả lời

[Luxabu Ocean]

Tìm min, max của hàm số :

  $y=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}+2\sqrt{18-3x-x^{2}}$

[Cuongpa]

Tìm min, max của hàm số :

  $y=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}+2\sqrt{18-3x-x^{2}}$

 

Tập xác định: $x\in \left [ -3;6 \right ]$

Đặt $\sqrt{x+3}=a;\sqrt{6-x}=b$  $ (a.b\geq 0)$

Khi đó $y=a+b+2ab$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=3\sqrt{2}\\ 2ab\leq a^2+b^2=9 \end{matrix}\right.$

Suy ra $P\leq 9+3\sqrt{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=\frac{3}{2}$

 

Đối với trường hợp min thì ta có bất đẳng thức phụ sau:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=0$ hoặc $b=0$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$y=(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x})+2\sqrt{18-3x-x^2}\geq \sqrt{x+3+6-x}=3$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} x+3=0\\ 6-x=0 \end{bmatrix}\\ 18-3x-x^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-3\\ x=6 \end{bmatrix}$

[Luxabu Ocean]

bạn ơi, chỗ này bạn nhầm nè

 

Tập xác định: $x\in \left [ -3;6 \right ]$

Đặt $\sqrt{x+3}=a;\sqrt{6-x}=b$  $ (a.b\geq 0)$

Khi đó $y=a+b+2ab$

$\sqrt{18-3x-x^2}=\sqrt{(x+6)(3-x)}$