Tiếp nối $topic$ của cao nhân L Lawliet. Đây là $TOPIC$ tổng hợp các bài toán chưa có lời giải từ trang 1/284 đến 50/284, trong thời gian gần đây....
Lưu ý: - Các thành viên không được thảo luận tại đây, tuyệt đối không spam
- Các bài màu xanh dương là các bài chưa có lời giải
- Khi đưa ra lời giải, nhắn tin cho tôi
$\boxed{1}$ Cho $x,y,z,u,v$ là các số nguyên dương thỏa mãn : $xyzuv=z+y+z+u+v$. Tìm GTLN của $max\left \{ x,y,z,u,v \right \}$
$\boxed{2}$ Giả sử rằng $x,y$ là các số thực thỏa mãn: $\frac{x^2-x+y^2-y}{x^2+y^2-1}\leq 0$. Tìm cặp số $(x,y)$ để $x+2y$ đạt giá trị lớn nhất.
$\boxed{3}$ Cho pt: $x^{2}+bx+c=0, x^{2}+b_{1}x+c_{1}=0$ với $b,c,b_{1},c_{1}$ là các số nguyên thỏa mãn $(b-b_{1})(c-c_{1})> 0$ Chứng minh rằng: cả 2 pt có 1 nghiệm chung thì nghiệm còn lại là 2 số nguyên phân biệt
$\boxed{4}$ Cho $a,b,c,p,q,r$ đôi một khác nhau. Giải hệ :
$\begin{cases} &\\\dfrac{x}{a-q}+\dfrac{y}{b-q}+\dfrac{z}{c-q}=1\\&\\\dfrac{x}{a-p}+\dfrac{y}{b-p}+\dfrac{z}{c-p}=1\\&\\\dfrac{x}{a-r}+\dfrac{y}{b-r}+\dfrac{z}{c-r}=1\\& \end{cases}$
$\boxed{5}$ Phân tích nhân tử:
$a^{7}c^{12}+b^{7}a^{12}+c^{7}b^{12}-a^{7}b^{12}-b^{7}c^{12}-c^{7}a^{12}$
$\boxed{6}$ Chưng minh không tồn tại a,b,c$\epsilon \mathbb{Z}$ để 2 phương trình bậc 2 sau đều có 2 nghiệm nguyên:
$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+bx+c=0 & \\ (a+1)x^{2}+(b+1)x+c+1=0& \end{matrix}\right.$
$\boxed{7}$ Bạn Nam muốn cắt một đoạn dây dài 63cm thành các đoạn nhỏ hơn sao cho một hoặc nhiều mảnh ghép với nhau được các số tự nhiên từ 1 đến 63. Hỏi bạn Nam phải cắt ít nhất bao nhiêu lần? (HSG Toán 8 - Hương Sơn 2015-2016)
$\boxed{8}$ Cho phương trình $x^3-ax^2+bx-a=0$ có 3 nghiệm thực dương.Tìm $a,b$ để biểu thức $P=\frac{b^{2016}-3^{2016 }}{a^{2016}}$ đạt GTNN và tìm GTNN đó
$\boxed{9}$ Cho x, y, z thỏa mãn:$\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}=\frac{1007x}{x+y}+\frac{1007y}{y+z}+\frac{1007z}{z+x}=2014$. Tính tổng $S = x + y + z.$
$\boxed{10}$ Cho phương trình: $x^2-2x+m-3=0$. Tính $A = x_{1}^{5}+32x_{2}^{5}-x_{1}-x_{2}$
$\boxed{11}$ Tìm a,n,m,p thuộc N biết:
$(-216x^4y)^2(-4x^5y^3z)(-2x^7y^5z^2)=2016ax^{n+2}y^{m-1}z^{p-2}$
$\boxed{12}$ Cho a, b, c, d là các số tự nhiên thỏa mãn $(a+c)^{2} + 2c = (b+d)^{2} +2d$. Chứng minh rằng
$\left\{\begin{matrix}a = b \\ c = d \end{matrix}\right.$
$\boxed{13}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3-x^2+x(y^2+1)=y^2-y+1\\ 2y^3+12y^2+18y-2+z=0\\ 3z^3-9z+x-7=0 \end{matrix}\right.$
$\boxed{14}$ Biết một đa thức bậc $n$ mà có $n$ nghiệm $x_{1};x_{2};...x_{n}$ thì phải có dạng $a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})$ ($a$ là số thực khác 0). Cho đa thức $f(x)$ có bậc $2014$ thỏa mãn $f(k) =-\dfrac{2}{k}$ với mọi k là số nguyên dương không vượt quá $2015$. Tính $f(2016)$
$\boxed{15}$ Tìm m, n, p thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} m^{3}-n^{2}-n=\dfrac{1}{3}\\ n^{3}-p^{2}-p=\dfrac{1}{3}\\ p^{3}-m^{2}-m=\dfrac{1}{3} \end{matrix}\right.$
$\boxed{16}$ Cho hai số: $A=1978^{n}$; $B=1978^{n}+2^{n}$. Chứng minh rằng hai số trên có cùng số chữ số ?
$\boxed{17}$ Tìm $a$ để pt $(x-1)^2=2|x-a|$ có 4 nghiệm phân biệt
$\boxed{18} $ Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=abc$
CMR: A= $\frac{\sqrt{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}-\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{b^{2}+1}}{ab} + \frac{\sqrt{(b^{2}+1)(c^{2}+1)}-\sqrt{b^{2}+1}-\sqrt{c^{2}+1}}{bc} + \frac{\sqrt{(c^{2}+1)(a^{2}+1)}-\sqrt{c^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1}}{ca}$ là số tự nhiên
$\boxed{19}$ Tìm $m$ để phương trình $x^4-(2m+3)x^2+m+5=0$ có các nghiệm thỏa mãn $-2<x_1<-1<x_2<0<x_3<1<x_4<3$
$\boxed{20}$ Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm $\in [0,1]$.
Xác định a,b,c để $p=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}$ nhỏ nhất, lớn nhất
$\boxed{21}$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{y}+1=z$
$\boxed{22}$ Cho các số $m,n,p$ thỏa mãn các điều kiện
$\left ( \sqrt{1+m^2}+m \right )\left ( \sqrt{1+n^2}-n \right )=1$ và $\left ( \sqrt{1+n^2}+p \right )\left ( \sqrt{1+p^2}+n \right )=1$
Tính giá trị của biểu thức $Q=m^{2013}+p^{2013}$.
$\boxed{23}$ Cho $2 \leq a,b,c,d \leq 3$. Chứng minh rằng: $\frac{2}{3} \leq \frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\leq \frac{3}{2}$
$\boxed{24}$ Cho 3 số x, y, z thỏa mãn $(x-y+z)^{2}+2xy-8xz+2yz<0$ và $5x-4y+5z<0$. Chứng minh rằng: $2017x-2016y+2017z<0$
$\boxed{25}$ Cho tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+1998x+c$ với $a,c \in \mathbb{Z}$. Biết $\left | a \right |<2000$ và $f(x)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$.
Chứng minh rằng $\left | x_{1}-x_{2} \right |\geq \frac{1}{998}$
$\boxed{26}$ Tìm các cặp $(a,b)$ nguyên sao cho tồn tại đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho \[ x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0=(x^2+ax+b)\cdot P(x) \]với $c_0,c_1,...,c_{n-1}$ bằng $1$ hoặc $-1$.
$\boxed{27}$ Cho $\left\{\begin{matrix} \left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )=abc & \\ \left ( a^3+b^3 \right )\left ( b^3+c^3 \right )\left ( c^3+a^3 \right )=8a^3b^3c^3 & \end{matrix}\right.$. Chứng minh $abc=0$
$\boxed{28}$ Cho các số thực $a,b$. Tìm min của $A=\sqrt{a^2+b^2+2a+1}+\sqrt{a^2+b^2-2a+1}+|b-2|$
$\boxed{29}$ Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases}x=2^{1-y}\\y= 2^{1-x}\end{cases}$$
$\boxed{30}$ Tính: $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{23}}+\frac{1}{\sqrt{24}}$
$\boxed{31}$ Cho a, b, c > 0 và $ab+bc+ca = 1$. Chứng minh rằng:
$\sum (1-a^2)(1+a^2)=\dfrac{4abc}{\sqrt{\sum (1+a^2)}}+1$
$\boxed{32}$ Tìm các số hữu tỉ $x,y,z,t$ thỏa mãn:
$(x+y\sqrt{2})^{2010}+(z+t\sqrt{2})^{2010}=5+4\sqrt{2}$
$\boxed{33}$ Cho dãy các hàm số $f_{1}(x); f_{2}(x); f_{3}(x);...$ thỏa mãn điều kiện: $f_{1}(x)=x$ và $f_{n+1}(x)=\frac{1}{1+f_{n}(x)}$. Tính $f_{49}(2)$
$\boxed{34}$ Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn $\left ( x+2014 \right )^{2}=64\left ( x+2007 \right )^{3}$
$\boxed{35}$ Chứng minh rằng:nếu $\left | a \right |+\left | b \right |\geq2$ thì phương trình (ẩn x) $2ax^2+bx+1-a=0$có nghiệm.
$\boxed{36}$ Giải các phương trình nghiệm nguyên:
a) $a,x^2+10008=279y^5+y+85z-130yz$
b) $b,x^2+y^2+z^2+t^2+k^2=40001u^2$
$\boxed{37}$ Xét dãy số {$a_{n}$} với $a_{1}=1$ va $a_{n}=a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$ với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1. Chứng minh rằng: $12 < a_{145} < 21$
$\boxed{38}$ Giải hệ phương trình $x^{2}+2x^{2}y^{2}=5y^{2}-y^{4}$ và $x-xy+x^{2}y=y-y^{2}$
$\boxed{39}$ Tìm các số tự nhiên m và n thỏa mãn:
$(3+5\sqrt{2})^{m} = (5+3\sqrt{2})^{n}$
$\boxed{40}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+3}+\sqrt{y+7}=5 \\\sqrt{y-1}+\sqrt{z+1}=3 \\\sqrt{z+6}+\sqrt{x}=4 \end{matrix}\right.$
$\boxed{41}$ Giải phương trình:16$x^{4}+5=6\sqrt[3]{4x^{2}+x}$
$\boxed{42}$Cho $x_0=x_1;x_1=\frac{\sqrt{3}+x_0}{1-x_0\sqrt{3}};...;x_n=\frac{\sqrt{3}+x_{n-1}}{1-x_n\sqrt{3}}$.
Tính $Q=x_{19}+x_{30}+x_{2015}$
$\boxed{43}$ Cho a,b,c nguyên dương thỏa mãn $c(ac+1)^2=(2c+b)(3c+b)$
Chứng minh c là số chính phương
Cho 2012 số dương $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn : $\dfrac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_{3}}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_{2012}}}=125.$
Chứng minh rằng trong 2012 số trên có 3 số bằng nhau
$\boxed{45}$ Cho các số a, b , c khác 0 bất kì sao cho $ac + bc + 3ab <0$
Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm: $(ax^{2}+bx+c)+(bx^{2}+cx+a)(cx^{2}+ax+b)=0$
$\boxed{46}$ Cho các số thực không âm $m,n,p$ thoả mãn điều kiện $m + 2n + 3p = 1$
Chứng minh rằng ít nhất môt trong hai phương trình có nghiệm
$4x^{2}-4(2m+1)x+4m^{2}+192mnp+1=0$
$4x^{2}-4(2n+1)x+4n^{2}+96mnp+1=0$
$\boxed{47}$ Cho $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ là các số thực thõa mãn: $a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2=a_3^2+b_3^2=1$ và $a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3=0$. Chứng minh rằng: $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$
$\boxed{48}$ Cho $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ là độ dài các cạnh của tam giác. Giải phương trình sau: $ax^{2}+(a+b-c)x+b=0$
$\boxed{49}$ Cho a,b,c là các số thực dương thoã mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 7(a+b+c)-3$.
$\boxed{50}$ Cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ ( a khác $0$) có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn $ax_1+bx_2+c=0$. Tính giá trị biểu thức:
$M=a^2c+ac^2+b^3-3abc$
Sẽ tiếp tục cập nhật...!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 20-06-2017 - 08:24