Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tất cả các hàm f: $$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ thỏa mãn: $$f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Đã gửi 08-06-2017 - 07:32

Tìm tất cả các hàm f: $$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ thỏa mãn:

$$f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y$$

 


:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#2 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 08-06-2017 - 08:16

Thay $x=0$, ta có: $f(f(y))=y$. Suy ra $f$ đơn ánh.

Thay $y\rightarrow f(y)$, ta được: $f(x^2+y)=xf(x)+f(y)$. $(1)$

Thay $x\rightarrow f(x)$ ở $(1)$, ta được: $f(f^2(x)+y)=xf(x)+f(y)$.

Suy ra: $f(x^2+y)=f(f^2(x)+y) \Rightarrow x^2+y=f^2(x)+y \Rightarrow f^2(x)=x^2$.

Từ đó, ta được $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ đều thỏa mãn.


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$

#3 Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Đã gửi 08-06-2017 - 20:03


Từ đó, ta được $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ đều thỏa mãn.

f(x)=x; f(x)=-x với mọi x chứ ạ. E nghĩ cần phản xét thêm trường hợp tồn tại a; b sao cho f(a)=a; f(b)=-b :D


:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#4 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 08-06-2017 - 20:13

Giả sử tồn tại $f(x)$ là nghiệm khác thỏa mãn. Khi đó: $\exists a,b\neq 0 : f(a)\neq a, f(b)\neq-b.$.

Từ kết quả bài toán, suy ra: $f(a)=-a$ và $f(b)=b$.

Ta lại có: $f(a^2+f(b))=af(a)+b\Rightarrow f(a^2+b)=b-a^2$.

Kết hợp: $f(a^2+b)=a^2+b$ hoặc $f(a^2+b)=-a^2-b.$

Ta đều suy ra $a=b=0$ (không thỏa mãn).

Nên không tồn tại nghiệm $f(x)$ khác ngoài $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$, với mọi $x$.


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$

#5 hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-06-2017 - 00:37

Bài này là BalkanMO năm 97.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh