Tìm tất cả các hàm f: $$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ thỏa mãn:
$$f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y$$
Tìm tất cả các hàm f: $$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ thỏa mãn:
$$f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y$$
:ph34r:người đàn ông bí ẩn
Thay $x=0$, ta có: $f(f(y))=y$. Suy ra $f$ đơn ánh.
Thay $y\rightarrow f(y)$, ta được: $f(x^2+y)=xf(x)+f(y)$. $(1)$
Thay $x\rightarrow f(x)$ ở $(1)$, ta được: $f(f^2(x)+y)=xf(x)+f(y)$.
Suy ra: $f(x^2+y)=f(f^2(x)+y) \Rightarrow x^2+y=f^2(x)+y \Rightarrow f^2(x)=x^2$.
Từ đó, ta được $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ đều thỏa mãn.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Từ đó, ta được $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ đều thỏa mãn.
f(x)=x; f(x)=-x với mọi x chứ ạ. E nghĩ cần phản xét thêm trường hợp tồn tại a; b sao cho f(a)=a; f(b)=-b
:ph34r:người đàn ông bí ẩn
Giả sử tồn tại $f(x)$ là nghiệm khác thỏa mãn. Khi đó: $\exists a,b\neq 0 : f(a)\neq a, f(b)\neq-b.$.
Từ kết quả bài toán, suy ra: $f(a)=-a$ và $f(b)=b$.
Ta lại có: $f(a^2+f(b))=af(a)+b\Rightarrow f(a^2+b)=b-a^2$.
Kết hợp: $f(a^2+b)=a^2+b$ hoặc $f(a^2+b)=-a^2-b.$
Ta đều suy ra $a=b=0$ (không thỏa mãn).
Nên không tồn tại nghiệm $f(x)$ khác ngoài $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$, với mọi $x$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Bài này là BalkanMO năm 97.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh