Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các hàm f: $$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ thỏa mãn: $$f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Tìm tất cả các hàm f: $$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ thỏa mãn:

$$f(x^{2}+f(y))=xf(x)+y$$

 


:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Thay $x=0$, ta có: $f(f(y))=y$. Suy ra $f$ đơn ánh.

Thay $y\rightarrow f(y)$, ta được: $f(x^2+y)=xf(x)+f(y)$. $(1)$

Thay $x\rightarrow f(x)$ ở $(1)$, ta được: $f(f^2(x)+y)=xf(x)+f(y)$.

Suy ra: $f(x^2+y)=f(f^2(x)+y) \Rightarrow x^2+y=f^2(x)+y \Rightarrow f^2(x)=x^2$.

Từ đó, ta được $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ đều thỏa mãn.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Từ đó, ta được $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$ đều thỏa mãn.

f(x)=x; f(x)=-x với mọi x chứ ạ. E nghĩ cần phản xét thêm trường hợp tồn tại a; b sao cho f(a)=a; f(b)=-b :D


:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#4
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Giả sử tồn tại $f(x)$ là nghiệm khác thỏa mãn. Khi đó: $\exists a,b\neq 0 : f(a)\neq a, f(b)\neq-b.$.

Từ kết quả bài toán, suy ra: $f(a)=-a$ và $f(b)=b$.

Ta lại có: $f(a^2+f(b))=af(a)+b\Rightarrow f(a^2+b)=b-a^2$.

Kết hợp: $f(a^2+b)=a^2+b$ hoặc $f(a^2+b)=-a^2-b.$

Ta đều suy ra $a=b=0$ (không thỏa mãn).

Nên không tồn tại nghiệm $f(x)$ khác ngoài $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$, với mọi $x$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#5
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Bài này là BalkanMO năm 97.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh