Cho$a,b,c\geq 0;a\neq b\neq c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$
Cho$a,b,c\geq 0;a\neq b\neq c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$
"Attitude is everything"
Không mất tính tổng quát, giả sử $a> b> c\geq 0$
$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c} \right )^2+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{9}{(a-c)^2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=2b-c$
Ta có: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{2}(a-c)^2$ (*)
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+c)^2+b^2\geq 0$( luôn đúng) $\Rightarrow (*)$ đúng
Do đó: $P\geq \frac{9}{2}\Rightarrow MinP=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=-c>0; b=0$ và các hoán vị.
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
Không mất tính tổng quát ta giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$ khi đó ta được: $$\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}} } \right) \geqslant \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{2}{{\frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a}}} + {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2}$$Đến đây đặt ẩn khảo sát hàm 1 biến là xong
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
Không mất tính tổng quát, giả sử $a> b> c\geq 0$
$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c} \right )^2+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{9}{(a-c)^2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=2b-c$
Ta có: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{2}(a-c)^2$ (*)
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+c)^2+b^2\geq 0$( luôn đúng) $\Rightarrow (*)$ đúng
Do đó: $P\geq \frac{9}{2}\Rightarrow MinP=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=-c>0; b=0$ và các hoán vị.
Mình chưa biết bạn tính sai ở đâu nhưng bài này đáp số có dạng $m+n\sqrt{5}$ và người ta hỏi $m^{2}+n^{2}$ và ko có đáp án $\frac{81}{4}$
"Attitude is everything"
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh