Đến nội dung

Hình ảnh

$P=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 756 Bài viết

Cho$a,b,c\geq 0;a\neq b\neq c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$

 


"Attitude is everything"


#2
githenhi512

githenhi512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

Không mất tính tổng quát, giả sử $a> b> c\geq 0$

$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c} \right )^2+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{9}{(a-c)^2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=2b-c$

Ta có: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{2}(a-c)^2$ (*)

           $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+c)^2+b^2\geq 0$( luôn đúng) $\Rightarrow (*)$ đúng

Do đó: $P\geq \frac{9}{2}\Rightarrow MinP=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=-c>0; b=0$ và các hoán vị.

 

 


'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.

Albert Einstein                               


#3
tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Không mất tính tổng quát ta giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$ khi đó ta được: $$\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}} } \right) \geqslant \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{2}{{\frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a}}} + {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2}$$Đến đây đặt ẩn khảo sát hàm 1 biến là xong


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#4
Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 756 Bài viết

Không mất tính tổng quát, giả sử $a> b> c\geq 0$

$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c} \right )^2+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{9}{(a-c)^2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=2b-c$

Ta có: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{2}(a-c)^2$ (*)

           $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+c)^2+b^2\geq 0$( luôn đúng) $\Rightarrow (*)$ đúng

Do đó: $P\geq \frac{9}{2}\Rightarrow MinP=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=-c>0; b=0$ và các hoán vị.

Mình chưa biết bạn tính sai ở đâu nhưng bài này đáp số có dạng $m+n\sqrt{5}$ và người ta hỏi $m^{2}+n^{2}$ và ko có đáp án $\frac{81}{4}$


"Attitude is everything"





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh