Bài toán: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=\frac{a.\sqrt{3}}{2},$ các cạnh còn lại bằng $a.$ Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là ?
Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là ?
#2
Đã gửi 08-06-2017 - 21:33
Bài toán: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=\frac{a.\sqrt{3}}{2},$ các cạnh còn lại bằng $a.$ Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là ?
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ ; $O$ là tâm tam giác đều $ABC$ ; $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ; $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$
Ta có $OA=OB=OC\Rightarrow I$ nằm trên đường thẳng $d$ vuông góc với $(ABC)$
$\left\{\begin{matrix}BC\perp SM\\BC\perp AM \end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp (SAM)\Rightarrow (SAM)\perp (ABC)\Rightarrow H\in AM$
Lập hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho mặt phẳng $Oxy$ trùng với $(ABC)$ và $z_S> 0$
$\Delta SAM$ đều $\Rightarrow z_S=SH=SA\sin 60^o=\frac{3}{4}\ a$
$OH=HM-OM=\frac{AM}{2}-\frac{AM}{3}=\frac{AM}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{12}$
$IA^2=IB^2=IC^2=z_I^2+OA^2=z_I^2+\frac{1}{3}\ a^2$
$IS^2=(z_S-z_I)^2+OH^2=\left ( \frac{3}{4}\ a-z_I \right )^2+\frac{1}{48}\ a^2$
$IS=IA=IB=IC\Rightarrow z_I^2+\frac{1}{3}\ a^2=\left ( \frac{3}{4}\ a-z_I \right )^2+\frac{1}{48}\ a^2\Rightarrow z_I=\frac{1}{6}\ a$
$\Rightarrow R=IA=\sqrt{z_I^2+OA^2}=\sqrt{\frac{1}{36}\ a^2+\frac{1}{3}\ a^2}=\frac{\sqrt{13}}{6}\ a$.
- caybutbixanh, leminhnghiatt và Chika Mayona thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 08-06-2017 - 23:30
Bài toán: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=\frac{a.\sqrt{3}}{2},$ các cạnh còn lại bằng $a.$ Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là ?
Gọi $K$ là trung điểm $BC$
Ta có: $SB=SC, AB=AC,KB=KC \rightarrow (SAK)$ là mặt phẳng trung trực của $BC$
Kẻ $SH \perp AK \rightarrow SH \perp (ABC)$
Lấy $O$ là tâm mặt đáy. Dựng $Ox // SH \rightarrow Ox \perp (ABC)$
Lấy TĐ $SA$ là $M$. Dễ thấy $\Delta SAK$ đều $\rightarrow KM$ là đường trung trực $SA$
Lấy $KM$ giao $Ox$ ở $I$. Khi đó ta có: $I$ là tâm mặt cầu ng tiếp chóp $S.ABC$
Bh ta đi tính bán kính $SI$
Xét trong $\Delta SAK$ ta tính được: $SK=\dfrac{3a}{4}; KI=\dfrac{1}{3} \rightarrow MI=\dfrac{5}{2}$
$\rightarrow SI=\sqrt{MI^2+SM^2}=\dfrac{\sqrt{13}a}{6}$
p/s: đây là cách mình áp dụng tính chất hình học không gian thuần túy và không đc tối ưu như cách anh chanhquocnghiem đăng ở trên. Bạn có thể tham khảo thêm
- caybutbixanh, chanhquocnghiem, Chika Mayona và 1 người khác yêu thích
Don't care
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh