Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh: $\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}$

bđt am-gm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\star \int_{CQT}^{12T}\star$

Đã gửi 09-06-2017 - 07:44

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh: 

$\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}\geq 3\sqrt[3]{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 09-06-2017 - 11:19

$\mathbb{VTL}$


#2 trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 543 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Học viện báo chí và tuyên truyền

Đã gửi 09-06-2017 - 09:53

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh: 

$\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}$

bạn kiểm tra lại đề đi ạ



#3 Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\star \int_{CQT}^{12T}\star$

Đã gửi 09-06-2017 - 11:20

bạn kiểm tra lại đề đi ạ

rồi :) mình đã sửa lại rồi =))


$\mathbb{VTL}$


#4 phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Planet Vegeta}$
  • Sở thích:${\color{Cyan}{\boxed{{\color{Yellow}{\boxed{{\color{blue}
    \bigstar}}\boxed{\color{red}{\text{Dragon ball}}}\boxed{{\color{Green}\bigstar}}}}}}}$

Đã gửi 09-06-2017 - 18:20

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh: 

$\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}\geq 3\sqrt[3]{4}$

Sử dụng bá đạo thức $AM-GM$: $VT=\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{\sqrt[3]{\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+ 1\right )}}}$

 

Vậy ta chỉ cần chứng minh: $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 4\sqrt[3]{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )}$

 

Ta lại có: $\left ( a^{2}+bc \right )\left ( ac+ab \right )\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )^{2}}{4}$.

 

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi nhân lại, ta được:

 

$\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )\leq \frac{1}{64}\left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{3}\left ( c+a \right )^{3}\\\Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 4\sqrt[3]{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )}$

 

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, am-gm

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh