Chủ đề này có 3 trả lời

[Drago]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh: 

$\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}\geq 3\sqrt[3]{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 09-06-2017 - 11:19

[trambau]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh: 

$\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}$

bạn kiểm tra lại đề đi ạ

[Drago]

bạn kiểm tra lại đề đi ạ

rồi mình đã sửa lại rồi =))

[phamngochung9a]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh: 

$\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}\geq 3\sqrt[3]{4}$

Sử dụng bá đạo thức $AM-GM$: $VT=\sum \frac{a+b}{c^{2}\sqrt[3]{a^{3}+1}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{\sqrt[3]{\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+ 1\right )}}}$

 

Vậy ta chỉ cần chứng minh: $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 4\sqrt[3]{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )}$

 

Ta lại có: $\left ( a^{2}+bc \right )\left ( ac+ab \right )\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+c \right )^{2}}{4}$.

 

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi nhân lại, ta được:

 

$\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )\leq \frac{1}{64}\left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{3}\left ( c+a \right )^{3}\\\Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 4\sqrt[3]{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( b^{2}+ac \right )\left ( c^{2}+ab \right )}$

 

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$