Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng: 

$(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Chiều 1:

$(2m+3)^{n}+1\vdots 3$  

 Dễ dàng => m chia 3 dư 1 và n phải lẻ

 Đồng thời có $3^{n}+1\vdots 2m$ 

      => v2($3^{n}+1$)$\geq$ 1+v2(m)

    => đặt m=$2^{x}.\prod pi^{ni}$   (pi lẻ)

         =>  $(\frac{-3}{pi})=1$ vì n+1 chẵn nên dùng thặng dư bình phương

      => $\prod pi^{ni}\equiv 1(mod 6)$ 

         mà m chia 3 dư 1 và x$\leq$1 => x=0 => v2(m)=0

 Lại có $\frac{3^{n}+1}{2m}$ nguyên mà

            v2($3^{n}+1$)-v2(m)=1

=> $\frac{3^{n}+1}{2m}$ chia hết cho 2 => đpcm;

Chiều 2: $3^{n}+1\vdots 4$ => n lẻ

    Ta có:  v2(3n+1)$\geq$ v2(4m) => v2(m)=0

        Đặt m=$\prod pi^{ni}$ (pi nguyên tố lẻ) Tươgn tự trên => m=6k+1=3h+1

                    Ta cần c/m:  $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$

                           Mà có:   $(2m)^{n-1}\equiv 1 (mod3)$ 

                                Đặt  $\frac{3^{n}+1}{2m}=k$

                                      =>$3^{n}+1=2m.k=(6h+2).k$ Dễ thấy k$k\equiv 2(m0d3)$

                         Dễ dàng => $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$

 

Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng: 

$(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh