Chủ đề này có 4 trả lời

[Tea Coffee]

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

[tuaneee111]

Đặt: $\left( {\frac{b}{a};\frac{c}{b};\frac{a}{c}} \right) \to \left( {x,y,z} \right) \Rightarrow xyz = 1$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $$\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} \geqslant \frac{3}{4}$$Sử dụng bổ đề quen thuộc: $$\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} \geqslant \frac{1}{{xy + 1}} \Leftrightarrow \frac{{xy{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {xy - 1} \right)}^2}}}{{\left( {xy + 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} \geqslant 0$$Ta cần chứng minh: $$\frac{1}{{xy + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} \geqslant \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{z}{{z + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} - \frac{3}{4} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {z - 1} \right)}^2}}}{{4{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} \geqslant 0 \Rightarrow Q.E.D$$P/s: Bài này giống trong đề tuyển sinh chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An

[Hoang Dinh Nhat]

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$

Dùng BĐT phụ: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)}{3}$

$\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{(\sum \frac{a}{a+b})^2}{3}$

BĐT cần chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dễ dàng cm được với $a\geq b\geq c$

[Tea Coffee]

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$

Dùng BĐT phụ: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)}{3}$

$\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{(\sum \frac{a}{a+b})^2}{3}$

BĐT cần chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dễ dàng cm được với $a\geq b\geq c$

Làm sao cm đc bđt đó >= 3/2 thế bạn

[Hoang Dinh Nhat]

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{3}{2}=\frac{(a-b)(c-a)(c-b)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$ đúng theo $a\geq b\geq c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 09-06-2017 - 17:12