Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh bất đẳng thức sau lớn hơn 3/4


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 09-06-2017 - 15:01

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}$


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#2 tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:Học toán$$\boxed{\heartsuit \prec VMF \succ \heartsuit }$$

Đã gửi 09-06-2017 - 15:15

Đặt: $\left( {\frac{b}{a};\frac{c}{b};\frac{a}{c}} \right) \to \left( {x,y,z} \right) \Rightarrow xyz = 1$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $$\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} \geqslant \frac{3}{4}$$Sử dụng bổ đề quen thuộc: $$\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} \geqslant \frac{1}{{xy + 1}} \Leftrightarrow \frac{{xy{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {xy - 1} \right)}^2}}}{{\left( {xy + 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} \geqslant 0$$Ta cần chứng minh: $$\frac{1}{{xy + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} \geqslant \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{z}{{z + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} - \frac{3}{4} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {z - 1} \right)}^2}}}{{4{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} \geqslant 0 \Rightarrow Q.E.D$$P/s: Bài này giống trong đề tuyển sinh chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#3 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 09-06-2017 - 15:25

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$

Dùng BĐT phụ: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)}{3}$

$\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{(\sum \frac{a}{a+b})^2}{3}$

BĐT cần chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dễ dàng cm được với $a\geq b\geq c$


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#4 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 09-06-2017 - 16:48

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$

Dùng BĐT phụ: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)}{3}$

$\sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{(\sum \frac{a}{a+b})^2}{3}$

BĐT cần chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dễ dàng cm được với $a\geq b\geq c$

Làm sao cm đc bđt đó >= 3/2 thế bạn


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#5 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 09-06-2017 - 17:11

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}-\frac{3}{2}=\frac{(a-b)(c-a)(c-b)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$ đúng theo $a\geq b\geq c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 09-06-2017 - 17:12

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh