Chủ đề này có 11 trả lời

[Tuan Duong]

Đề thi vào 10 chuyên Nguyễn Tất Thành Kon Tum 2017-2018

Hình gửi kèm

• 

[tuaneee111]

Chém bất.

Ta có: $$ \displaystyle P=6\left( {ab+bc+ca} \right)+a{{\left( {a-b} \right)}^{2}}+b{{\left( {b-c} \right)}^{2}}+c{{\left( {c-a} \right)}^{2}}=\sum\limits_{{cyc}}{{{{{\left( {a-b} \right)}}^{2}}\left( {a-1} \right)}}+2\le 2$$Vậy $ \displaystyle \max P=2$. Đẳng thức đặt được khi $ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$

[Nguyen Xuan Hieu]

Chém bất.

Ta có: $$ \displaystyle P=6\left( {ab+bc+ca} \right)+a{{\left( {a-b} \right)}^{2}}+b{{\left( {b-c} \right)}^{2}}+c{{\left( {c-a} \right)}^{2}}=\sum\limits_{{cyc}}{{{{{\left( {a-b} \right)}}^{2}}\left( {a-1} \right)}}+2\le 2$$Vậy $ \displaystyle \max P=2$. Đẳng thức đặt được khi $ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$

Bạn ghi rõ ra 1 tý được không :v cái đoạn $\sum\limits_{{cyc}}{{{{{\left( {a-b} \right)}}^{2}}\left( {a-1} \right)}}+2\le 2$
À có phải là $(a-b)^2 \geq 0$ mà $a \leq 1$ nên cái đó $ \leq 0$ hả ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Xuan Hieu: 09-06-2017 - 20:56

[trieutuyennham]

Câu4

a)Ta có AE.AB=AH²=AF.AC

Suy ra tứ giác BEFC nội tiếp

b)Gọi P là giao của BM và AC suy ra M là trung điểm của BP 

suy ra MC đi qua trung điểm của AH mà EF đi qua trung điểm của AH 

suy ra MC;AH;EF đồng quy

c) Theo công thức tính tiếp tuyến chung ta có $\sqrt{r₁.R₁}$+$\sqrt{r₁.R₂}$=$\sqrt{R₁.R₂}$

chia cả 2 vế cho $\sqrt{r₁.R₁.R₂}$ta được đpcm

[tuaneee111]

Bạn ghi rõ ra 1 tý được không :v cái đoạn $\sum\limits_{{cyc}}{{{{{\left( {a-b} \right)}}^{2}}\left( {a-1} \right)}}+2\le 2$
À có phải là $(a-b)^2 \geq 0$ mà $a \leq 1$ nên cái đó $ \leq 0$ hả ?

đúng rồi đó bạn

[NTMFlashNo1]

     UBND TỈNH KON TUM                                                                           TUYỂN SINH VÀO 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                              TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH

                                                     NĂM HỌC:2017-2018

                                                     MÔN:TOÁN CHUYÊN 

                                            NGÀY: 6/9/2017

                                 TIME:150'

 

 

Câu 1:(2 điểm)

a) Giải phương trình:

 

$x^{4}-3x^{2}+\frac{1}{x^{4}}-\frac{3}{x^{2}}-2=0$

 

b) Giải hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x} &=6 \\ x^{2}y+xy^{2} &=20 \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:(2 điểm) Cho:

 

$M=\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x}{\sqrt{xy}+y}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\left ( x>y>0 \right )$

 

a) Rút gọn $M$

b) Tìm $Min$:

 

$N=x^{2}-\frac{M}{y\left ( x+y \right )}\left ( x>y>0 \right )$

 

Câu 3:(1 điểm)

Xét 2020 số thực $x_{1},x_{2},...,x_{2020}$ nhận 1 trong 2 giá trị $2-\sqrt{3}$ hoặc $2+\sqrt{3}$.

Hỏi $\sum_{k=1}^{1010}x_{2k-1}.x_{2k}$ nhận bao nhiêu giá trị nguyên khác nhau.

 

Câu 4:(3 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ và $A$ trên nửa đường tròn.Đường cao $AH$.Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa $A$, vẽ nửa đường tròn $\left ( O_{1},R_{1} \right )$ đường kính $HB$ và nửa đường tròn $\left ( O_{2},R_{2} \right )$ đường kính $HC$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$.$M$ là giao của các tiếp tuyến tại $A,B$ của $(O)$.

 

a) Chứng minh: $BEFC$ nội tiếp.

b) $MC,AH,EF$ đồng quy

c) $(I,r)$ là đường tròn tiếp xúc ngoài $(O_{1}),(O_{2})$ và tiếp xúc vói $EF$ tại $D$.Chứng minh:

 

$\frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{R_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{R_{2}}}$

 

Câu 5:(1 điểm) Cho hàm $y=f(x)=x^{2}+mx+m-13$.$x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm phân biệt của $f(x)=0$ với $m>13$.Tìm $m$ thỏa mãn:

$\left | x_{1} \right |f\left ( x_{2}-m \right )+\left | x_{2} \right |f\left ( x_{1}-m \right )=104$

 

Câu 6:(1 điểm) Với $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ Tìm max:

 

$P=6\left ( ab+bc+ca \right )+a\left ( a-b \right )^{2}+b\left ( b-c \right )^{2}+c\left ( c-a \right )^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 09-06-2017 - 22:12

[Tea Coffee]

1.b) Đặt $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b=> ab(a+b)=6; a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})=20$

Đặt tiếp $a+b=m,ab=n=>m.n=6;m^{2}(n^{2}-2m)=20=>(mn)^{2}-2m^{3}=20=>36-2m^{3}=20=>m=2...$

P/S: Câu sở thích

[HoangKhanh2002]

 Câu 4:(3 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ và $A$ trên nửa đường tròn.Đường cao $AH$.Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa $A$, vẽ nửa đường tròn $\left ( O_{1},R_{1} \right )$ đường kính $HB$ và nửa đường tròn $\left ( O_{2},R_{2} \right )$ đường kính $HC$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$.$M$ là giao của các tiếp tuyến tại $A,B$ của $(O)$.

a) Chứng minh: $BEFC$ nội tiếp.

b) $MC,AH,EF$ đồng quy

c) $(I,r)$ là đường tròn tiếp xúc ngoài $(O_{1}),(O_{2})$ và tiếp xúc vói $EF$ tại $D$.Chứng minh:

 

$\frac{1}{\sqrt{r}}=\frac{1}{\sqrt{R_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{R_{2}}}$

Xử hình đê các bác . Chỉ giỏi doạ người thôi!!!

a) Câu này khuyến mại

Ta có: $AEHF$ là hình chữ nhật $\implies \widehat{AEF}=\widehat{AHF}=\widehat{ACB} \implies BEFC$ nội tiếp

b) Vì $AEHF$ là hình chữ nhật $\implies EF$ đi qua trung điểm $AH$
Gọi $P$ là giao điểm của $MC$ và $AH$, $K$ là giao điểm của $AC$ và $BM$

$\Delta ABK, \widehat{BAK}=90^o, BM=MA \implies MK=MB=MA$

Theo ông $Thales$: $\dfrac{AP}{MK}=\dfrac{PH}{MB} \implies AP=PH$ hay $MC$ đi qua trung điểm $AH$

Vậy $AH, EF, MC$ đồng quy tại trung điểm $AH$

c) Dễ dàng chứng minh: $EF$ là tiếp tuyến chung của $(O_{1})$ và $(O_{2})$ bằng cộng góc

Đẳng thức cần chứng minh: $\dfrac{1}{\sqrt{r}}=\dfrac{1}{\sqrt{R_{1}}}+\dfrac{1}{\sqrt{R_{2}}}\iff \sqrt{R_{1}}.\sqrt{R_{2}}=\sqrt{r}(\sqrt{R_{1}}+\sqrt{R_{2}})$

Gọi $L$ là chân đường vuông góc từ $O_{1}$ xuống $FO_{2}$, $N$ là chân đường vuông góc từ $I$ xuống $EF$

Nhận thấy: $EF=O_{1}L=\sqrt{O_{1}O_{2}^2-LO_{2}^2}=\sqrt{(R_{1}+R_{2})^2-(R_{1}-R_{2})^2}=2\sqrt{R_{1}.R_{2}}$

Tương tự: $EN=2\sqrt{R_{1}.r},NP=2\sqrt{R_{2}r}$

Mà: $EF=FN+NE$ nên có ngay đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 09-06-2017 - 23:23

[HoangTienDung1999]

Chém bất.

Ta có: $$ \displaystyle P=6\left( {ab+bc+ca} \right)+a{{\left( {a-b} \right)}^{2}}+b{{\left( {b-c} \right)}^{2}}+c{{\left( {c-a} \right)}^{2}}=\sum\limits_{{cyc}}{{{{{\left( {a-b} \right)}}^{2}}\left( {a-1} \right)}}+2\le 2$$Vậy $ \displaystyle \max P=2$. Đẳng thức đặt được khi $ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$

Lạm dụng máy tính

[Nguyen Xuan Hieu]

Câu 5:
$f(x_1-m)=(x_1-m)^2+m(x_1-m)+m-13=x_1^2-2x_1m+m^2+mx_1-m^2+m-13=x_1^2+mx_1+m-13-2mx_1=-2mx_1$
Tương tự ta cũng sẽ tính được $f(x_2-m)=-2mx_2$.
$x^2+mx+m-13=0$
Tính denta phương trình luôn có nghiệm với $m>13$.
Do đó theo Viet $x_1x_2=m-13,x_1+x_2=-m$.
Với $m>13$ thì rõ ràng phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.
Do đó $|x_1|.f(x_2-m)+|x_2|.f(x_1-m)=104 \\\Leftrightarrow -2mx_2.(-x_1)-2mx_1.(-x_2)=104 \\\Leftrightarrow mx_1x_2=26 \\\Leftrightarrow m(m-13)=26 \\\Leftrightarrow m=\dfrac{13+\sqrt{273}}{2}(m>13)$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Xuan Hieu: 10-06-2017 - 08:57

[tuaneee111]

Lạm dụng máy tính

ko có máy tính gì ở đây nhé! Đơn giản là sử dụng đẳng thức sau: ${\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}} $, do $a + b + c = 1 \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = 1$ biến đổi P kiểu này: $$P = 6\left( {ab + bc + ca - \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}} \right) + \sum\limits_{cyc} {a{{\left( {a - b} \right)}^2}}  + 2$$$$ =  - \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}}  + \sum\limits_{cyc} {a{{\left( {a - b} \right)}^2}}  + 2 = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {a - 1} \right)}  + 2 \leqslant 2$$Được chứ bạn, ở đây ko có lạm dụng gì hết nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 10-06-2017 - 08:59

[Nguyen Xuan Hieu]

Đặt $a=2-\sqrt{3}$,$b=2+\sqrt{3}$.
Dễ thấy: $ab,a.a+b.b$ là một số nguyên và $a,b,a^2,b^2$ là một số vô tỷ.
Dễ thấy biểu thức cần tìm gồm chẵn số hạng và các chỉ số $x$ chỉ nhận một trong 2 giá trị $a,b$.
Vậy nên để biểu thức đó nguyên thì tồn tại $2k( 0 \leq k \leq 505)$ số hạng $ab$ và $\dfrac{1010-2k}{2}$ số hạng $a.a,b.b$.
Do các giá trị $ab,a.a+b.b$ có giá trị khác nhau nên với mỗi $k$ ta đều tìm được các giá trị nguyên khác nhau của biểu thức.
Do đó tồn tại $\dfrac{505-0}{1}+1=506$ giá trị nguyên khác nhau.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Xuan Hieu: 10-06-2017 - 09:56