Bài $1$: Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên $m$ trong đoạn $[-2017;2017]$ để phương trình $2017^{x^2+(2-m)x+2}+\left ( (x+1)^2-mx \right )\log (x^2+1)=2017$ có nghiệm thực duy nhất trên $(-1; +\infty)$
A. $2017$
B. $2018$
C. $2019$
D. $2014$
Bài $2$:
Với mọi số thực $m$ thì đường thẳng $d$: $y=-x+m$ luôn cắt đồ thị $(H)$: $y=\frac{x-2}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$
Hỏi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ có giá trị nhỏ nhất là
A. $2\sqrt{2}-2$
B. $4-2\sqrt{2}$
C. $\sqrt{2}-1$
D. $2-\sqrt{2}$
Bài 1 :
Phương trình đã cho tương đương với :
$2017^{(x+1)^2-mx+1}+[(x+1)^2-mx]\log(x^2+1)=2017$
Chú ý rằng $\log(x^2+1)\geqslant 0,\forall x\in\mathbb{R}$. Xét các trường hợp :
+ $(x+1)^2-mx> 0$ : Khi đó vế trái lớn hơn $2017$ $\rightarrow$ phương trình vô nghiệm.
+ $(x+1)^2-mx< 0$ : Khi đó vế trái nhỏ hơn $2017$ $\rightarrow$ phương trình vô nghiệm.
+ $(x+1)^2-mx=0$ hay $x^2+(2-m)x+1=0$ (tức $m\leqslant 0$ hoặc $m\geqslant 4$) :
Khi đó phương trình có nghiệm và nghiệm của nó cũng chính là nghiệm của phương trình $x^2+(2-m)x+1=0$
Xét phương trình $x^2+(2-m)x+1=0$ với $m$ nguyên và $m\in(-\infty;0]\cup [4;+\infty)$
Phương trình này có 2 nghiệm $x_1\leqslant x_2$, và ta có : $\left\{\begin{matrix}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{m-2}{2}\\x_1x_2=1 \end{matrix}\right.$
Phương trình chỉ có nghiệm kép khi $m=0$ hoặc $m=4$.
+ Nếu $m=0\Rightarrow x_1=x_2=-1$ (không thỏa mãn điều kiện đề bài)
+ Nếu $m=4\Rightarrow x_1=x_2=1$ (xem như nghiệm thực duy nhất thuộc $(-1;+\infty)$ thỏa mãn điều kiện đề bài)
+ Nếu $m>4$ : Khi đó $x_2> \frac{4-2}{2}=1\Rightarrow x_1,x_2$ đều dương (vì $x_1x_2=1$), không thỏa mãn điều kiện đề bài
+ Nếu $m<0$ : Khi đó $x_1<\frac{0-2}{2}=-1\Rightarrow x_2\in(-1;0)$ (thỏa mãn điều kiện đề bài)
Vậy trong đoạn $[-2017;2017]$ có $2018$ số nguyên $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài (là $4$ và tất cả các số nguyên âm trong đoạn đó)
Bài 2 :
Phương trình hoành độ giao điểm : $\frac{x-2}{x-1}=m-x\Rightarrow x^2-mx+m-2=0$
$\Rightarrow |x_A-x_B|=\sqrt{\Delta }=\sqrt{m^2-4m+8}\Rightarrow AB=\sqrt{2}.|x_A-x_B|=\sqrt{2m^2-8m+16}$
Tìm cực trị của $AB$ bằng đạo hàm $\Rightarrow AB_{min}=2\sqrt2$
Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB$ là $I$ và bán kính của nó là $R$.
$R=IO=IA=IB\geqslant \frac{AB}{2}\geqslant \sqrt{2}$ (dấu bằng xảy ra khi $m=2$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 10-06-2017 - 13:21
