Chủ đề này có 1 trả lời

[bigway1906]

cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} =3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P= \sum \frac{y^2z^2}{x(y^2+z^2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bigway1906: 10-06-2017 - 10:45

[HoangKhanh2002]

cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^2} =3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P= \sum \frac{y^2z^2}{x(y^2+z^2)}$

Ta có: $P=\sum \dfrac{1}{x(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2})}$

Đặt:$(\dfrac{1}{x}; \dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z})=(a,b,c)$

Khi đó: $P=\sum \dfrac{a}{b^2+c^2}=\sum \dfrac{a}{3-a^2}$

Ta chứng minh: $\dfrac{x}{3-x^2} \geqslant \dfrac{1}{2}x^2$

$\iff \dfrac{(x-1)^2.x.(x+2)}{2.(3-x^2)} \geqslant 0$ (BĐT này luôn đúng)

Do đó: $ P\geqslant \dfrac{1}{2} (a^2+b^2+c^2)=\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra: $\iff x=y=z=1 \square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 10-06-2017 - 11:03