SỞ GD & ĐT LONG AN KỲ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUYÊN LONG AN
------------------- NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
________________
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức: $T=\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$ với điều kiện $x\geqslant 0$ và $x\neq 1$.
a/ Rút gọn biểu thức T.
b/ Tìm x, biết $T=\frac{1}{2}$.
Câu 2 (2,0 điểm)
a/ Tìm tham số m để phương trình $x^2-2(m+1)+2m-1=0$ có hai nghiệm trái dấu $x_1,x_2$ thoả mãn $\left | x_1-x_2 \right |=2\sqrt{6}$.
b/ Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên $\frac{3}{4}$ quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên $\frac{1}{4}$ quãng đường AB sau bằng $\frac{1}{2}$ vận tốc trên $\frac{3}{4}$ quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên $\frac{3}{4}$ quãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A.
Câu 3 (1,0 điểm)
Giải phương trình: $3\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x+3}=6x+\sqrt{x^2+4x+3}$.
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên đường thẳng AB và AC.
a/ Chứng minh: $OA\perp DE$.
b/ DE cắt BC tại K. Chứng minh: $KH^2=KB.KC$.
c/ Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại F. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCED. Chứng minh ba điểm F, H, I thẳng hàng.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^2+4y^2+12x+3y+5=0$.
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2+x}{x}$.
Câu 7 (1,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC và M là một điểm nằm bên trong tam giác. Gọi D, E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các cạnh BC, CA và AB. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác ABC để tổng $DC^2+EA^2+FB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
------- HẾT -------
Họ và tên thí sinh:...........................................................................Số báo danh:.............Chữ ký:................
