Chủ đề này có 3 trả lời

[supernatural1]

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$ \frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1 $

[Hoang Dinh Nhat]

Bổ đề khá quen thuộc.

BĐT cần cm $\Leftrightarrow \sum (a+b+1)(b+c+1)\leq (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)\Leftrightarrow 2+2(a+b+c)\leq (a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow 2+2(a+b+c)\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\Leftrightarrow 3\leq (a+b+c)(ab+bc+ca-2)$

Theo $Cauchy$, ta có:$(a+b+c)(ab+bc+ca-2)\geq 3\sqrt[3]{abc}.(3\sqrt[3]{ab.bc.ca}-2)=3$

[tuaneee111]

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

$ \frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1 $

Bài này quá quen thuộc rồi, mình xin đóng góp thêm một cách nữa.

Đặt $ \displaystyle \left( {a,b,c} \right)\to \left( {{{x}^{3}},{{y}^{3}},{{z}^{3}}} \right)$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $$\frac{1}{{{x^3} + {y^3} + xyz}} + \frac{1}{{{y^3} + {z^3} + xyz}} + \frac{1}{{{z^3} + {x^3} + xyz}} \leqslant 1$$Ta có bổ đề sau: ${a^3} + {b^3} \geqslant ab\left( {a + b} \right)$. Áp dụng ta được: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{x^3} + {y^3} + xyz}}}  \leqslant \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{xy\left( {x + y} \right) + xyz}}}  = \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{xy\left( {x + y + z} \right)}}}  = 1 \Rightarrow Q.E.D$$

[cahoangkim123]

Bài này quá quen thuộc rồi, mình xin đóng góp thêm một cách nữa.

Đặt $ \displaystyle \left( {a,b,c} \right)\to \left( {{{x}^{3}},{{y}^{3}},{{z}^{3}}} \right)$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $$\frac{1}{{{x^3} + {y^3} + xyz}} + \frac{1}{{{y^3} + {z^3} + xyz}} + \frac{1}{{{z^3} + {x^3} + xyz}} \leqslant 1$$Ta có bổ đề sau: ${a^3} + {b^3} \geqslant ab\left( {a + b} \right)$. Áp dụng ta được: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{x^3} + {y^3} + xyz}}}  \leqslant \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{xy\left( {x + y} \right) + xyz}}}  = \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{xy\left( {x + y + z} \right)}}}  = 1 \Rightarrow Q.E.D$$

lời giải này hay đấy